A energia potencial de um corpo de massa 50 g, restrito ao eixo x, é dada por U(x)= 3 x^{2}-2 x^{3}, onde U está em joules e x está em metros. (a) Determine as posiçöes de equilíbrio estáveis e as posiçōes de equilibrio instáveis. (b) sendo a energia mecánica do sistema igual a 0,8 \mathrm{~J}, determine os pontos de retorno da particula quando ela encontra-se na regiāo próxima ao ponto de equilibrio estável e (c) determine o módulo da velocidade da partícula na posição x=0,40 \mathrm{~m} à frente do ponto de equilibrio estável.

Passo 1

O enunciado dá um corpo de massa m=50\text{ g}=0,05\text{ kg} que se move no eixo x sob o potencial
U(x)=3x^{2}-2x^{3},
e pede:
a) posições de equilíbrio estáveis e instáveis;
b) pontos de retorno quando a energia mecânica total é E=0,8\text{ J}, na região em volta do equilíbrio estável;
c) módulo da velocidade em x=0,40\text{ m} à frente do ponto de equilíbrio estável.

Passo 2

Para achar as posições de equilíbrio usamos
\frac{dU}{dx}=U'(x)=6x-6x^{2}=6x(1-x)\,.
As soluções de U'(x)=0 são
x=0\quad\text{e}\quad x=1.

Passo 3

Classificamos a estabilidade usando a segunda derivada
U''(x)=6-12x.
Em x=0 temos U''(0)=6>0, logo é estável.
Em x=1 temos U''(1)=6-12=-6<0, logo é instável.

Passo 4

Os pontos de retorno satisfazem
U(x)=E\quad\Longrightarrow\quad 3x^{2}-2x^{3}=0,8
ou seja
2x^{3}-3x^{2}+0,8=0.
Fazendo uma busca numérica por mudança de sinal de f(x)=2x^{3}-3x^{2}+0,8, encontramos duas raízes na região em volta de x=0:
x_{1}\approx-0,45\text{ m},\qquad x_{2}\approx0,72\text{ m}.

Passo 5

Para x=0,40\text{ m}, a energia cinética é
K = E - U(0,40)=0,8 - \bigl(3\cdot0,4^{2}-2\cdot0,4^{3}\bigr) =0,8 - (0,48 -0,128)=0,448\text{ J}.
Como K=\tfrac12\,m\,v^{2}, segue
v=\sqrt{\frac{2K}{m}} =\sqrt{\frac{2\cdot0,448}{0,05}} \approx4,23\text{ m/s}.

Resposta

(a) Equilíbrio estável em x=0; equilíbrio instável em x=1.
(b) Pontos de retorno: x\approx-0,45\text{ m} e x\approx0,72\text{ m}.
(c) v\approx4,23\text{ m/s}.

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