A energia potencial de um corpo restrito ao eixo
é dada por
, onde
é dado em joules e
em metros. © Quais destas posições representam equilíbrios estáveis e quais representam equilíbrios instáveis?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a energia potencial de um corpo que se move apenas no eixo $ x $, dada por $ U(x) = 8{,}0,x^{2} - x^{4} $. O que precisamos descobrir é quais posições de $ x $ correspondem a equilíbrios estáveis e quais a equilíbrios instáveis. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para analisar esses pontos de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as posições de equilíbrio. Em física, um ponto de equilíbrio ocorre onde a força resultante é zero, ou seja, onde a derivada da energia potencial em relação a $ x $ é igual a zero. Matemáticamente, isso significa resolver $ \frac{dU}{dx} = 0 $.
Vamos calcular a primeira derivada de $ U(x) $:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Isso nos dá as soluções:
Então, os pontos de equilíbrio são $ x = 0 $, $ x = 2 $ e $ x = -2 $.
Passo 3
Agora, para determinar se cada um desses pontos de equilíbrio é estável ou instável, vamos analisar a segunda derivada da energia potencial, $ \frac{d{2}U}{dx{2}} $. Se a segunda derivada for positiva no ponto de equilíbrio, ele é estável (minímo local). Se for negativa, o equilíbrio é instável (máximo local).
Vamos calcular a segunda derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a segunda derivada em cada ponto de equilíbrio:
- Para $ x = 0 $:
Isso significa que $ x = 0 $ é um ponto de equilíbrio estável.
- Para $ x = 2 $:
Então, $ x = 2 $ é um ponto de equilíbrio instável.
- Para $ x = -2 $:
Assim, $ x = -2 $ também é um ponto de equilíbrio instável.
Resposta
A posição $ x = 0 $ representa um equilíbrio estável, enquanto as posições $ x = 2 $ e $ x = -2 $ representam equilíbrios instáveis.