A energia potencial de um corpo restrito ao eixo x é dada por U(x)=8,0 x^2-x^4, onde U é dado em joules e x em metros. © Quais destas posições representam equilíbrios estáveis e quais representam equilíbrios instáveis?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a energia potencial de um corpo que se move apenas no eixo $ x $, dada por $ U(x) = 8{,}0,x^{2} - x^{4} $. O que precisamos descobrir é quais posições de $ x $ correspondem a equilíbrios estáveis e quais a equilíbrios instáveis. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para analisar esses pontos de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as posições de equilíbrio. Em física, um ponto de equilíbrio ocorre onde a força resultante é zero, ou seja, onde a derivada da energia potencial em relação a $ x $ é igual a zero. Matemáticamente, isso significa resolver $ \frac{dU}{dx} = 0 $.
Vamos calcular a primeira derivada de $ U(x) $:
x
Agora, igualamos a derivada a zero:
dUdx = 0
Isso nos dá as soluções:
U(x)
Então, os pontos de equilíbrio são $ x = 0 $, $ x = 2 $ e $ x = -2 $.

Passo 3

Agora, para determinar se cada um desses pontos de equilíbrio é estável ou instável, vamos analisar a segunda derivada da energia potencial, $ \frac{d{2}U}{dx{2}} $. Se a segunda derivada for positiva no ponto de equilíbrio, ele é estável (minímo local). Se for negativa, o equilíbrio é instável (máximo local).
Vamos calcular a segunda derivada:
d^2Udx^2

Passo 4

Agora, vamos avaliar a segunda derivada em cada ponto de equilíbrio:
  1. Para $ x = 0 $:
x = 0
Isso significa que $ x = 0 $ é um ponto de equilíbrio estável.
  1. Para $ x = 2 $:
d^2Udx^2 = 16,0 - 12 times 0^2 = 16,0 (positivo)
Então, $ x = 2 $ é um ponto de equilíbrio instável.
  1. Para $ x = -2 $:
x = 0
Assim, $ x = -2 $ também é um ponto de equilíbrio instável.

Resposta

A posição $ x = 0 $ representa um equilíbrio estável, enquanto as posições $ x = 2 $ e $ x = -2 $ representam equilíbrios instáveis.

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