Um planeta hipotético possui massa de 5,0 times 10^23 kg e raio de 3,0 times 10^6 m, e não possui atmosfera. Uma sonda espacial de 10 kg é lançada verticalmente de sua superfície. (a) Se a sonda possui energia cinética inicial de 5,0 times 10^7 J, qual será sua energia cinética quando estiver a uma distância de 4,0 times 10^6 m do centro do planeta? (b) Qual é a velocidade de escape deste planeta?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um planeta hipotético com massa de 5,0 times 10^23 kg e raio de 3,0 times 10^6 m. Uma sonda espacial de 10 kg é lançada verticalmente da superfície do planeta com uma energia cinética inicial de 5,0 times 10^7 J.
Conteúdo da matéria: Energia cinética, energia potencial gravitacional e velocidade de escape.
O que vamos precisar:
  • Princípio da conservação de energia.
  • Fórmulas para energia cinética e energia potencial gravitacional.
  • Fórmula para calcular a velocidade de escape.

Passo 2

Vamos resolver a parte (a) da questão: qual será a energia cinética da sonda quando ela estiver a uma distância de 4,0 times 10^6 m do centro do planeta.
Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total (energia cinética + energia potencial gravitacional) permanece constante se não houver forças dissipativas. Ou seja:
Emecânica inicial = Emecânica final ââ

Passo 3

Vamos calcular a energia mecânica inicial. Sabemos que a sonda tem uma energia cinética inicial de 5,0 times 10^7 J. A energia potencial gravitacional na superfície Ui é dada por:
Ui = -G M mR
onde:
  • G é a constante gravitacional ( 6,674 times 10^-11 , Nm^2/kg^2),
  • M é a massa do planeta ( 5,0 times 10^23 kg),
  • m é a massa da sonda (10 kg),
  • R é o raio do planeta ( 3,0 times 10^6 m).

Passo 4

Calculando Ui:
Ui = -6,674 times 10^-11 times 5,0 times 10^23 times 103,0 times 10^6 = -6,674 times 10^-11 times 5,0 times 10^243,0 times 10^6
Ui = -3,337 times 10^143,0 times 10^6 = -1,112 times 10^8 , J

Passo 5

Então, a energia mecânica inicial Ei é:
Ei = Ki + Ui = 5,0 times 10^7 , J - 1,112 times 10^8 , J = -6,12 times 10^7 , J

Passo 6

Agora, queremos encontrar a energia cinética final Kf quando a sonda está a uma distância rf = 4,0 times 10^6 m do centro do planeta.
A energia potencial gravitacional final Uf é:
Uf = -G M mrf

Passo 7

Calculando Uf:
Uf = -6,674 times 10^-11 times 5,0 times 10^23 times 104,0 times 10^6 = -6,674 times 10^-11 times 5,0 times 10^244,0 times 10^6
Uf = -3,337 times 10^144,0 times 10^6 = -8,3425 times 10^7 , J

Passo 8

Usando a conservação da energia:
Ei = Kf + Uf
Substituindo os valores que já temos:
-6,12 times 10^7 = Kf - 8,3425 times 10^7

Passo 9

Resolvendo para Kf:
Kf = -6,12 times 10^7 + 8,3425 times 10^7 = 2,2225 times 10^7 , J

Resposta

A energia cinética da sonda quando estiver a 4,0 times 10^6 m do centro do planeta será aproximadamente 2,22 times 10^7 J.

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