Um planeta hipotético possui massa de
e raio de
, e não possui atmosfera. Uma sonda espacial de 10 kg é lançada verticalmente de sua superfície. (a) Se a sonda possui energia cinética inicial de
J, qual será sua energia cinética quando estiver a uma distância de
m do centro do planeta? (b) Qual é a velocidade de escape deste planeta?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um planeta hipotético com massa de
kg e raio de
m. Uma sonda espacial de 10 kg é lançada verticalmente da superfície do planeta com uma energia cinética inicial de
J.
Conteúdo da matéria: Energia cinética, energia potencial gravitacional e velocidade de escape.
O que vamos precisar:
- Princípio da conservação de energia.
- Fórmulas para energia cinética e energia potencial gravitacional.
- Fórmula para calcular a velocidade de escape.
Passo 2
Vamos resolver a parte (a) da questão: qual será a energia cinética da sonda quando ela estiver a uma distância de
m do centro do planeta.
Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total (energia cinética + energia potencial gravitacional) permanece constante se não houver forças dissipativas. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular a energia mecânica inicial. Sabemos que a sonda tem uma energia cinética inicial de
J. A energia potencial gravitacional na superfície
é dada por:
onde:
-
é a constante gravitacional ( ), -
é a massa do planeta ( kg), -
é a massa da sonda (10 kg), -
é o raio do planeta ( m).
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Então, a energia mecânica inicial
é:
Passo 6
Agora, queremos encontrar a energia cinética final
quando a sonda está a uma distância
m do centro do planeta.
A energia potencial gravitacional final
é:
Passo 7
Calculando
:
Passo 8
Usando a conservação da energia:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 9
Resolvendo para
:
Resposta
A energia cinética da sonda quando estiver a
m do centro do planeta será aproximadamente
J.