1. Qual a energia potencial de uma força dada em Newtons por F=2 x i+3 j, onde x está em metros, que é exercida sobre uma partícula enquanto ela se move da posição, em metros, ri=2 i+3 j para a posição (em metros) rf=-4 i-3 j.

Passo 1

O enunciado dá uma força conservativa
F(x,y)=2x,i+3,j
e pede a variação de energia potencial quando a partícula vai de
ri=(2,3) para rf=(-4,-3).
Para resolver isso, vamos usar a noção de energia potencial U(x,y) associada a uma força conservativa, isto é,
F=-nabla U,

Passo 2

Verificamos que F é conservativa conferindo que
partial Fxpartial y=0 e partial Fypartial x=0,
ou seja, partial(2x)/partial y=0 e partial(3)/partial x=0. Logo, existe U(x,y) tal que F=-nabla U.

Passo 3

Da definição F=-nabla U temos
partial Upartial x=-Fx=-2x,
integrando em x:
U(x,y)=-integral 2x,dx=-x^2+g(y)
Em seguida
partial Upartial y=g'(y)=-Fy=-3 Longrightarrow g'(y)=-3
e, integrando em y:
g(y)=-3y+C
Portanto a energia potencial genérica é
U(x,y)=-x^2-3y+C

Passo 4

A variação de energia potencial é
De<a U =Ul(rfr)-Ul(rir)
Calculando
U(2,3)=-(2)^2-3cdot3+C=-4-9+C=-13+C,
U(-4,-3)=-(-4)^2-3cdot(-3)+C=-16+9+C=-7+C,
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De<a U =(-7+C)-(-13+C)=6

Resposta

De<a U = 6 J

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