A energia potencial de uma força tridimensional é dada por
. Converta para coordenadas polares e determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a energia potencial de uma força em três dimensões, que é dada por $ U(x, y, z) = k l \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} $. O que precisamos fazer é transformar essa expressão para coordenadas polares e encontrar $ F_{r} $, que é a componente radial da força. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em três dimensões, usamos as coordenadas esféricas, que são uma extensão das coordenadas polares. Elas são representadas por $ (r, \theta, \phi) $, onde:
- $ r $ é a distância do ponto até a origem,
- $ \theta $ é o ângulo polar, medindo a inclinação em relação ao eixo z,
- $ \phi $ é o ângulo azimutal, medindo a rotação no plano xy.
Passo 3
Agora, vamos converter a expressão da energia potencial $ U(x, y, z) $ para coordenadas esféricas. Sabemos que $ x = r \sin\theta \cos\phi $, $ y = r \sin\theta \sin\phi $ e $ z = r \cos\theta $. Substituindo na expressão de $ U $:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Calculando cada termo:
Como $ \cos^{2}\phi + \sin^{2}\phi = 1 $, a expressão fica:
Portanto, a energia potencial simplifica para:
Passo 5
Agora que temos $ U $ em termos de $ r $, podemos encontrar a força radial $ F_{r} $. A relação entre a força e a energia potencial é dada por:
No caso da componente radial, isso significa:
Passo 6
Vamos calcular a derivada de $ U $ em relação a $ r $:
Então, a força radial é:
Resposta
A componente radial da força é $ F_{r} = -k l $.