A energia potencial correspondente a determinada força bidimensional é dada por
Defina
e
, e descreva o vetor força em cada ponto em relação a suas coordenadas
e
. (b) Determine
e
e descreva o vetor força no que se refere à coordenadas polares
e
do ponto. © Você consegue pensar em um modelo físico de uma força como esta?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de energia potencial bidimensional: $ U(x, y) = \frac{1}{2} k (x^{2} - y^{2})
x, y
r, \theta$), além de pensar em um modelo físico para essa força. Para isso, vamos precisar entender como relacionar energia potencial com força e converter entre coordenadas cartesianas e polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força é relacionada à energia potencial pela fórmula:
Isso significa que a força é o negativo do gradiente da energia potencial. O gradiente em coordenadas cartesianas é dado por:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de $ U $ em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de $ U $ em relação a $ x $:
E a derivada parcial de $ U $ em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da força:
Então, temos as componentes da força nas direções $ x $ e $ y $:
Essa é a força em coordenadas cartesianas.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (a) do exercício. Precisamos definir $ F_{x} $ e $ F_{y} $ e descrever o vetor força em cada ponto em relação às coordenadas $ x $ e $ y $.
Conforme calculamos:
O vetor força fica então:
Isso significa que a força na direção $ x $ é proporcional a $ -x $ e na direção $ y $ é proporcional a $ y $.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos determinar $ F_{r} $ e $ F_{\theta} $ nas coordenadas polares e descrever o vetor força em termos de $ r $ e $ \theta $.
Primeiro, lembramos que as coordenadas polares estão relacionadas às cartesianas por:
E o gradiente em coordenadas polares é:
Então, precisamos expressar $ U $ em termos de $ r $ e $ \theta $:
Simplificando usando a identidade trigonométrica $ \cos 2\theta = \cos^{2} \theta - \sin^{2} \theta $:
Passo 7
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Então, o gradiente em coordenadas polares é:
E a força é o negativo disso:
Portanto:
Essa é a força nas coordenadas polares.
Passo 8
Por fim, na parte ©, precisamos pensar em um modelo físico para uma força como essa. Observando as componentes da força, vemos que $ F_{x} $ é proporcional a $ -x $ e $ F_{y} $ é proporcional a $ y $. Isso lembra um sistema onde há uma força restauradora na direção $ x $ e uma força que afasta na direção $ y $. Um exemplo físico pode ser um sistema de mola onde, na direção $ x $, a mola está puxando de volta para a origem (como uma mola comum), enquanto na direção $ y $, a força está empurrando para fora, talvez devido a uma configuração de mola excêntrica ou alguma influência externa que cause essa diferenciação nas direções.
Resposta
A força resultante é dada por $ \vec{F} = (-k x) \hat{i} + (k y) \hat{j} $ nas coordenadas cartesianas e por $ \vec{F} = -k r \cos 2\theta , \hat{r} + k r \sin 2\theta , \hat{\theta} $ nas coordenadas polares. Um modelo físico para essa força pode ser um sistema de mola com comportamento diferente nas direções $ x $ e $ y $, onde a mola puxa de volta na direção $ x $ e empurra na direção $ y $.