A energia potencial correspondente a determinada força bidimensional é dada por U(x, y)=12 k(x^2-y^2),(a) Defina F2 e F , e descreva o vetor força em cada ponto em relação a suas coordenadas x e y. (b) Determine F,e Fm e descreva o vetor força no que se refere à coordenadas polares r e theta do ponto. © Você consegue pensar em um modelo físico de uma força como esta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de energia potencial bidimensional: $ U(x, y) = \frac{1}{2} k (x^{2} - y^{2}) U(x, y) = 12 k (x^2 - y^2) éçx, y x, yr, \theta$), além de pensar em um modelo físico para essa força. Para isso, vamos precisar entender como relacionar energia potencial com força e converter entre coordenadas cartesianas e polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força é relacionada à energia potencial pela fórmula:
F = -nabla U
Isso significa que a força é o negativo do gradiente da energia potencial. O gradiente em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla U = ( partial Upartial x, partial Upartial y )
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de $ U $ em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de $ U $ em relação a $ x $:
U
E a derivada parcial de $ U $ em relação a $ y $:
x

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da força:
F = -nabla U = -( kx, -ky ) = (-kx, ky)
Então, temos as componentes da força nas direções $ x $ e $ y $:
x
Essa é a força em coordenadas cartesianas.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (a) do exercício. Precisamos definir $ F_{x} $ e $ F_{y} $ e descrever o vetor força em cada ponto em relação às coordenadas $ x $ e $ y $.
Conforme calculamos:
Fx
O vetor força fica então:
Fy
Isso significa que a força na direção $ x $ é proporcional a $ -x $ e na direção $ y $ é proporcional a $ y $.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos determinar $ F_{r} $ e $ F_{\theta} $ nas coordenadas polares e descrever o vetor força em termos de $ r $ e $ \theta $.
Primeiro, lembramos que as coordenadas polares estão relacionadas às cartesianas por:
Fr
E o gradiente em coordenadas polares é:
Ftheta
Então, precisamos expressar $ U $ em termos de $ r $ e $ \theta $:
r
Simplificando usando a identidade trigonométrica $ \cos 2\theta = \cos^{2} \theta - \sin^{2} \theta $:
theta

Passo 7

Agora, calculamos as derivadas parciais:
partial Upartial r = 12 k cdot 2r cos 2theta = k r cos 2theta
partial Upartial theta = 12 k r^2 (-2 sin 2theta) = -k r^2 sin 2theta
Então, o gradiente em coordenadas polares é:
nabla U = k r cos 2theta , r - k r sin 2theta1 , theta = k r cos 2theta , r - k r sin 2theta , theta
E a força é o negativo disso:
F = -nabla U = -k r cos 2theta , r + k r sin 2theta , theta
Portanto:
Fr = -k r cos 2theta e Ftheta = k r sin 2theta
Essa é a força nas coordenadas polares.

Passo 8

Por fim, na parte ©, precisamos pensar em um modelo físico para uma força como essa. Observando as componentes da força, vemos que $ F_{x} $ é proporcional a $ -x $ e $ F_{y} $ é proporcional a $ y $. Isso lembra um sistema onde há uma força restauradora na direção $ x $ e uma força que afasta na direção $ y $. Um exemplo físico pode ser um sistema de mola onde, na direção $ x $, a mola está puxando de volta para a origem (como uma mola comum), enquanto na direção $ y $, a força está empurrando para fora, talvez devido a uma configuração de mola excêntrica ou alguma influência externa que cause essa diferenciação nas direções.

Resposta

A força resultante é dada por $ \vec{F} = (-k x) \hat{i} + (k y) \hat{j} $ nas coordenadas cartesianas e por $ \vec{F} = -k r \cos 2\theta , \hat{r} + k r \sin 2\theta , \hat{\theta} $ nas coordenadas polares. Um modelo físico para essa força pode ser um sistema de mola com comportamento diferente nas direções $ x $ e $ y $, onde a mola puxa de volta na direção $ x $ e empurra na direção $ y $.

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