A energia potencial de um sistema de partículas é dada por U(x)=-x^3+2 x^2+3 x, em que x é a posição de uma partícula no sistema. Para que valores de x a força é igual a zero?

Passo 1

Beleza, vamos entender primeiro o que a questão tá pedindo.
Temos uma energia potencial do tipo
U(x) = -x^3 + 2x^2 + 3x
e querem saber pra quais valores de a força no sistema é zero.
Conteúdo: mecânica (relação entre energia potencial e força) e um pouquinho de cálculo (derivada).
O que vamos precisar:
  • Saber que a força está relacionada à energia potencial por .
  • Saber derivar polinômios.
  • Resolver a equação resultante (uma equação quadrática).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a parte teórica:
Na física, a força que age numa partícula por causa de uma energia potencial F(x) = -dUdx é dada por
Isso vem do fato de que a força “puxa” na direção de diminuir a energia potencial.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de U(x) = -x^3 + 2x^2 + 3x .
Temos
dUdx = -3x^2 + 4x + 3
Derivando termo a termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
    Então

Passo 4

Agora a força é
F(x) = -dUdx = -l(-3x^2 + 4x + 3r) = 3x^2 - 4x - 3
Queremos os pontos onde 3x^2 - 4x - 3 = 0 , então montamos a equação

Passo 5

Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a,
onde De, x = -(-4) pm raiz522cdot 3 = 4 pm raiz526 = 4 pm 2raiz136 = 2 pm raiz133 e .
  1. Calcula o discriminante:
  1. Então

Resposta

Os valores de x = 2 + raiz133 e x = 2 - raiz133 que anulam a força são

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