Se d1=3 imath-2 j+4 k e d2=-5 imath+2 j-k, determine

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores: d1 = 3imath - 2j + 4k e d2 = -5imath + 2j - k. A gente precisa calcular o produto escalar de d1 + d2 com o produto vetorial de d1 e 4d2. Para isso, vamos precisar saber somar vetores, calcular produtos vetoriais e produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos somar os vetores d1 e d2. Para somar vetores, simplesmente somamos as componentes correspondentes de cada vetor:
d1 + d2 = (3 + (-5))imath + (-2 + 2)j + (4 + (-1))k = (-2)imath + 0j + 3k
Então, d1 + d2 = -2imath + 0j + 3k.

Passo 3

Agora, vamos calcular 4d2. Multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente do vetor por esse escalar:
4d2 = 4(-5imath + 2j - k) = -20imath + 8j - 4k
Então, 4d2 = -20imath + 8j - 4k.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o produto vetorial d1 times 4d2. O produto vetorial entre dois vetores A = a1imath + a2j + a3k e B = b1imath + b2j + b3k é dado por:
A times B = (a2b3 - a3b2)imath - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k
Aplicando isso aos nossos vetores:
d1 times 4d2 = ((-2)(-4) - 4(8))imath - (3(-4) - 4(-20))j + (3 cdot 8 - (-2)(-20))k
Calculando cada componente:
imath &: (8 - 32) = -24 j &: (-12 + 80) = 68 k &: (24 - 40) = -16
Então, d1 times 4d2 = -24imath + 68j - 16k.

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar (d1 + d2) cdot (d1 times 4d2). O produto escalar entre dois vetores C = c1imath + c2j + c3k e D = d1imath + d2j + d3k é:
C cdot D = c1d1 + c2d2 + c3d3
Aplicando isso aos nossos vetores:
(d1 + d2) cdot (d1 times 4d2) = (-2)(-24) + 0(68) + 3(-16) = 48 + 0 - 48 = 0

Resposta

O valor de (d1+d2) cdot(d1 times 4 d2) é 0.

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