Escrever os três primeiros termos diferentes de zero dos desenvolvimentos em série de potências de x das seguintes funções:
e^x sen x

Passo 1

Beleza, o problema pede os três primeiros termos diferentes de zero da expansão em série de potências de
f(x)=e^xsin x
Conteúdo: séries de potências (expansão de e^x=sumn=0^inftyx^nn!, sin x=sumk=0^infty(-1)^kx^2k+1(2k+1)! e de ) e multiplicação de séries (convolução de coeficientes). Vamos precisar das fórmulas:

Passo 2

Primeiro, escrevo a expansão de e^x = 1 + x + tfracx^22! + tfracx^33! + tfracx^44! + tfracx^55! + cdots = 1 + x + tfracx^22 + tfracx^36 + tfracx^424 + tfracx^5120 + cdots até, digamos, o termo :

Passo 3

Agora a expansão de sin x = x - x^33! + x^55! + cdots = x - tfracx^36 + tfracx^5120 + cdots até :

Passo 4

Multiplicamos termo a termo (convolução de séries) e vamos coletando potências de tfrac12cdot1 + 1cdotl(-tfrac16r) = tfrac12 - tfrac16 = tfrac13 .
Coeficientes:
  • : só vem de , então coeficiente .
  • : só de , coeficiente .
  • : vem de e de :
Os próximos termos são (que zera) e (que não precisamos aqui, já temos 3 não-zero).

Resposta

Os três primeiros termos diferentes de zero da série de x ;+; x^2 ;+;tfrac13,x^3 são

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