Escrever os três primeiros termos diferentes de zero dos desenvolvimentos em série de potências de x das seguintes funções:
ln (cos x)

Passo 1

Beleza, nosso objetivo é achar os três primeiros termos diferentes de zero na expansão em série de potências de
cos x = 1 - x^22! + x^44! - x^66! + cdots .
Conteúdo: Séries de Taylor (Maclaurin), em particular usaremos a expansão de e depois a de .
O que vamos precisar:
  1. Saber que
  1. E usar .

Passo 2

Primeiro, escrevemos
cos x = 1 + u,
onde
u = cos x - 1 = -x^22 + x^424 - x^6720 + O(x^8)

Passo 3

Agora aplicamos ln(1+u) = u - u^22 + u^33 + O(u^4) . Até termos , precisamos de
Calculemos cada pedaço até :

Passo 4

Agora somamos em ln(cos x) = u - u^22 + u^33 + cdots :
u = -x^22 + x^424 - x^6720,
Substituindo:
-u^22 = -12l(x^44 - x^624r) = -x^48 + x^648,
u^33 = 13l(-x^68r) = -x^624
Somando coeficiente a coeficiente:
  • Coeficiente de : .
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :

Resposta

ln(cos x) = -x^22 ;-;x^412;-;x^645 ;+;cdots
Os três primeiros termos diferentes de zero são

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