Um conjunto de N osciladores clássicos em uma dimcnsão é definido pclo hamiltoniano
\mathcal{H}=\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{1}{2 m} p_{i}^{2}+\frac{1}{2} m \omega^{2} q_{i}^{2}\right)
Utílizando o formalismo do ensemble canônico no espaço de fase clássico, obtenha expressões para a função de partição, a energia por oscilador, a entropia por oscilador e o calor específico. Compare com o limite clássico dos resultados quânticos. Calcule uma expressão para o desvio quadrático da energia em função da temperatura.

Passo 1

O enunciado fornece o Hamiltoniano clássico de um conjunto de N osciladores harmônicos independentes unidimensionais:
\mathcal{H}=\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{1}{2m}p_{i}^{2}+\frac{1}{2}m\omega^{2}q_{i}^{2}\right).
O que nos pedem explicitamente:
  • Obter a função de partição (no ensemble canônico, espaço de fase clássico).
  • Calcular a energia por oscilador.
  • Calcular a entropia por oscilador.
  • Calcular o calor específico.
  • Comparar com o limite clássico dos resultados quânticos para o oscilador harmônico.
  • Calcular o desvio quadrático (variância) da energia em função da temperatura.
Informações relevantes dadas ou necessárias (todas devem aparecer nas contas):
  • N osciladores idênticos e independentes.
  • Parâmetros físicos: massa m, frequência \omega, temperatura T.
  • Introduzimos \beta=\dfrac{1}{kT} onde k é a constante de Boltzmann.
  • Para tornar a função de partição clássica adimensional ao comparar com a quantização, usaremos o fator 1/h por grau de liberdade canônico (ou 1/h^N no total), com h a constante de Planck; isso facilita a comparação com o limite quântico (explico o porquê na resolução).

Passo 2

Vamos calcular a função de partição clássica para um oscilador (uma moda). Definição no espaço de fase (canônico, clássica) para uma partícula unidimensional:
Z_1=\frac{1}{h}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}p\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}q\;e^{-\beta H(p,q)},
onde H(p,q)=\dfrac{p^{2}}{2m}+\dfrac{1}{2}m\omega^{2}q^{2} e o fator 1/h é incluído para tornar Z_1 adimensional (isso é uma escolha habitual para comparar com a versão quântica; \hbar=h/(2\pi)). Agora avaliamos as integrais gaussianas passo a passo.
Integral em p:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\beta \frac{p^{2}}{2m}}\mathrm{d}p =\sqrt{2\pi m/\beta}.
Aqui usei a fórmula básica da integral gaussiana \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^{2}}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi/a} com a=\beta/(2m).
Integral em q:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\beta \frac{1}{2} m\omega^{2} q^{2}}\mathrm{d}q =\sqrt{\frac{2\pi}{\beta m\omega^{2}}}.
Novamente a integral gaussiana com a=\beta m\omega^{2}/2.
Multiplicando as duas integrais:
\int\!\!\int e^{-\beta H}\mathrm{d}p\,\mathrm{d}q =\sqrt{\frac{2\pi m}{\beta}}\sqrt{\frac{2\pi}{\beta m\omega^{2}}}=\frac{2\pi}{\beta\omega}.
Portanto, incluindo o fator 1/h,
Z_1=\frac{1}{h}\cdot\frac{2\pi}{\beta\omega}.
Usando \hbar=h/(2\pi) e \beta=1/(kT), podemos simplificar:
Z_1=\frac{1}{\beta\hbar\omega}=\frac{kT}{\hbar\omega}.
Comentário físico: Z_1 cresce proporcionalmente a T, o que já dá pista que a energia média será proporcional a T (equipartição).

Passo 3

Função de partição do sistema de N osciladores independentes. Como os osciladores são independentes, a partição total fatoriza:
Z=Z_1^{\,N}=\left(\frac{1}{\beta\hbar\omega}\right)^{N}.
Também é útil a expressão do logaritmo:
\ln Z = -N\ln(\beta\hbar\omega).

Passo 4

Energia média total U e energia por oscilador. Na estatística canônica vale:
U=-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z.
Aplicando:
U=-\frac{\partial}{\partial\beta}\big[-N\ln(\beta\hbar\omega)\big]=N\frac{1}{\beta}.
Usando \beta=1/(kT) obtemos
U=NkT.
Logo a energia por oscilador (energia média por modo) é
u=\frac{U}{N}=kT.
Interpretação didática: cada oscilador tem duas contribuições quadráticas (energia cinética \tfrac{1}{2}p^{2}/m e potencial \tfrac{1}{2}m\omega^{2}q^{2}). Pelo teorema da equipartição cada termo quadrático contribui com \tfrac{1}{2}kT, somando kT por oscilador — exatamente o resultado encontrado.

Passo 5

Entropia do sistema e por oscilador. Na mecânica estatística canônica:
S = k\big(\ln Z + \beta U\big).
Substituindo \ln Z e U:
S = k\big(-N\ln(\beta\hbar\omega) + \beta N\frac{1}{\beta}\big) = k\big(-N\ln(\beta\hbar\omega) + N\big).
Portanto a entropia por oscilador é
s=\frac{S}{N}=k\big(1-\ln(\beta\hbar\omega)\big).
Substituindo \beta=1/(kT) e rearranjando:
s=k\Big(1+\ln\!\big(\tfrac{kT}{\hbar\omega}\big)\Big).
Explicação: a entropia cresce com T como esperado, e depende de \hbar porque para comparar corretamente com a quantização a escala de ação entra na contagem de microestados clássicos (o 1/h no Z).

Passo 6

Calor específico (à volume/parametros fixos — aqui calor específico por oscilador no ensemble canônico). O calor específico total é
C=\frac{\partial U}{\partial T}=\frac{\partial (NkT)}{\partial T}=Nk.
Calor específico por oscilador:
c=\frac{C}{N}=k.
Comentário físico: cada oscilador contribui com k ao calor específico (ou k_B em notação que explicitamente usa k_B), consistente com equipartição (dois graus quadráticos \Rightarrow 1k por oscilador).

Passo 7

Comparação com o limite clássico dos resultados quânticos. Resultados quânticos conhecidos para um oscilador harmônico (níveis E_n=\hbar\omega(n+\tfrac{1}{2}), n=0,1,\dots):
  • Partição quântica para um oscilador:
Z_{1}^{(q)}=\sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta\hbar\omega(n+\tfrac{1}{2})} =\frac{e^{-\beta\hbar\omega/2}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}} =\frac{1}{2\operatorname{sinh}(\beta\hbar\omega/2)}.
  • Energia média quântica:
u^{(q)}=-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z_{1}^{(q)} =\frac{\hbar\omega}{2}+\frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1} =\frac{\hbar\omega}{2}\coth\!\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right).
Agora o limite clássico é \beta\hbar\omega\ll 1 (ou kT\gg\hbar\omega). Expanda para pequeno x=\beta\hbar\omega:
\frac{1}{e^{x}-1}\approx\frac{1}{x}-\frac{1}{2}+\frac{x}{12}+\cdots.
Substituindo na expressão para u^{(q)}:
u^{(q)}\approx \hbar\omega\Big(\tfrac{1}{2}+\frac{1}{x}-\tfrac{1}{2}+\cdots\Big)=\frac{1}{\beta}=kT + \text{pequenas correções}.çõ
Ou seja, no limite de altas temperaturas o resultado quântico converge para o resultado clássico u=kT. De forma semelhante, Z_{1}^{(q)}\approx 1/(x)=1/(\beta\hbar\omega)=Z_1 no mesmo limite, e o calor específico quântico tende para k. Conclusão: os resultados clássicos são o limite de altas temperaturas (ou \hbar\to 0) dos resultados quânticos.

Passo 8

Desvio quadrático (variância) da energia. Em ensemble canônico existe a relação geral:
\langle(\Delta E)^{2}\rangle=\langle E^{2}\rangle-\langle E\rangle^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial\beta^{2}}\ln Z.
Também pode-se relacionar com o calor específico:
\langle(\Delta E)^{2}\rangle = kT^{2}C.
Vamos calcular para o nosso sistema clássico: já temos \ln Z = -N\ln(\beta\hbar\omega). Diferenciando duas vezes:
\frac{\partial^{2}}{\partial\beta^{2}}\ln Z = \frac{N}{\beta^{2}}.
Usando \beta=1/(kT) isso dá
\langle(\Delta E)^{2}\rangle = \frac{N}{\beta^{2}} = N k^{2}T^{2}.
Consistência com a fórmula kT^{2}C: como C=Nk, temos \langle(\Delta E)^{2}\rangle = kT^{2}\cdot Nk = N k^{2}T^{2}, coincidindo. A variância por oscilador é
\langle(\Delta u)^{2}\rangle=\frac{1}{N^{2}}\langle(\Delta E)^{2}\rangle=\frac{k^{2}T^{2}}{N},
mas normalmente reporta-se a variância total ou a variância por oscilador isolado: por oscilador a variância da energia é k^{2}T^{2} (isto é, \langle(\Delta E)^{2}\rangle/N = k^{2}T^{2}). O desvio padrão relativo da energia média do sistema escala como
\frac{\sqrt{\langle(\Delta E)^{2}\rangle}}{U}=\frac{\sqrt{N}kT}{NkT}=\frac{1}{\sqrt{N}},
ou seja, para grandes N as flutuações relativas são pequenas.

Passo 9

Breve recapitulação e dicas práticas para prova (rápido, prático e amigo): ao resolver questões desse tipo na prova:
  • Calcule primeiro Z_1 com cuidado nas integrais gaussianas; o truque é separar p e q.
  • Use \ln Z para achar energia média pela derivada em \beta.
  • Entropia vem de S=k(\ln Z+\beta U).
  • Calor específico por C=\partial U/\partial T.
  • Para comparar com o quântico escreva Z^{(q)} e faça o limite \beta\hbar\omega\ll1 usando expansão de e^{x}.
  • Para flutuações use \langle(\Delta E)^{2}\rangle=\partial^{2}\ln Z/\partial\beta^{2} ou kT^{2}C.

Resposta

Z=\left(\frac{1}{\beta\hbar\omega}\right)^{N}
\text{Energia por oscilador: }\;u=kT
\text{Entropia por oscilador: }\;s=k\Big(1+\ln\!\big(\tfrac{kT}{\hbar\omega}\big)\Big)
\text{Calor específico por oscilador: }\;c=kí
\text{Desvio quadrático (variância) da energia total: }\;\langle(\Delta E)^{2}\rangle=N k^{2}T^{2}áâ
\text{Comparação com o quântico: no limite } \beta\hbar\omega\ll1\text{, }Z_{1}^{(q)}\to\frac{1}{\beta\hbar\omega},\;u^{(q)}\to kT,\;c^{(q)}\to k,çãâ
ou seja, os resultados clássicos são o limite de altas temperaturas dos resultados quânticos.

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