Um conjunto de
osciladores clássicos em uma dimcnsão é definido pclo hamiltoniano
Utílizando o formalismo do ensemble canônico no espaço de fase clássico, obtenha expressões para a função de partição, a energia por oscilador, a entropia por oscilador e o calor específico. Compare com o limite clássico dos resultados quânticos. Calcule uma expressão para o desvio quadrático da energia em função da temperatura.
Passo 1
O enunciado fornece o Hamiltoniano clássico de um conjunto de
osciladores harmônicos independentes unidimensionais:
O que nos pedem explicitamente:
- Obter a função de partição (no ensemble canônico, espaço de fase clássico).
- Calcular a energia por oscilador.
- Calcular a entropia por oscilador.
- Calcular o calor específico.
- Comparar com o limite clássico dos resultados quânticos para o oscilador harmônico.
- Calcular o desvio quadrático (variância) da energia em função da temperatura.
Informações relevantes dadas ou necessárias (todas devem aparecer nas contas):
- Há
osciladores idênticos e independentes. - Parâmetros físicos: massa
, frequência , temperatura . - Introduzimos
onde é a constante de Boltzmann. - Para tornar a função de partição clássica adimensional ao comparar com a quantização, usaremos o fator
por grau de liberdade canônico (ou no total), com a constante de Planck; isso facilita a comparação com o limite quântico (explico o porquê na resolução).
Passo 2
Vamos calcular a função de partição clássica para um oscilador (uma moda). Definição no espaço de fase (canônico, clássica) para uma partícula unidimensional:
onde
e o fator
é incluído para tornar
adimensional (isso é uma escolha habitual para comparar com a versão quântica;
). Agora avaliamos as integrais gaussianas passo a passo.
Integral em
:
Aqui usei a fórmula básica da integral gaussiana
com
.
Integral em
:
Novamente a integral gaussiana com
.
Multiplicando as duas integrais:
Portanto, incluindo o fator
,
Usando
e
, podemos simplificar:
Comentário físico:
cresce proporcionalmente a
, o que já dá pista que a energia média será proporcional a
(equipartição).
Passo 3
Função de partição do sistema de
osciladores independentes. Como os osciladores são independentes, a partição total fatoriza:
Também é útil a expressão do logaritmo:
Passo 4
Energia média total
e energia por oscilador. Na estatística canônica vale:
Aplicando:
Usando
obtemos
Logo a energia por oscilador (energia média por modo) é
Interpretação didática: cada oscilador tem duas contribuições quadráticas (energia cinética
e potencial
). Pelo teorema da equipartição cada termo quadrático contribui com
, somando
por oscilador — exatamente o resultado encontrado.
Passo 5
Entropia do sistema e por oscilador. Na mecânica estatística canônica:
Substituindo
e
:
Portanto a entropia por oscilador é
Substituindo
e rearranjando:
Explicação: a entropia cresce com
como esperado, e depende de
porque para comparar corretamente com a quantização a escala de ação entra na contagem de microestados clássicos (o
no
).
Passo 6
Calor específico (à volume/parametros fixos — aqui calor específico por oscilador no ensemble canônico). O calor específico total é
Calor específico por oscilador:
Comentário físico: cada oscilador contribui com
ao calor específico (ou
em notação que explicitamente usa
), consistente com equipartição (dois graus quadráticos
por oscilador).
Passo 7
Comparação com o limite clássico dos resultados quânticos. Resultados quânticos conhecidos para um oscilador harmônico (níveis
,
):
- Partição quântica para um oscilador:
- Energia média quântica:
Agora o limite clássico é
(ou
). Expanda para pequeno
:
Substituindo na expressão para
:
Ou seja, no limite de altas temperaturas o resultado quântico converge para o resultado clássico
. De forma semelhante,
no mesmo limite, e o calor específico quântico tende para
. Conclusão: os resultados clássicos são o limite de altas temperaturas (ou
) dos resultados quânticos.
Passo 8
Desvio quadrático (variância) da energia. Em ensemble canônico existe a relação geral:
Também pode-se relacionar com o calor específico:
Vamos calcular para o nosso sistema clássico: já temos
. Diferenciando duas vezes:
Usando
isso dá
Consistência com a fórmula
: como
, temos
, coincidindo. A variância por oscilador é
mas normalmente reporta-se a variância total ou a variância por oscilador isolado: por oscilador a variância da energia é
(isto é,
). O desvio padrão relativo da energia média do sistema escala como
ou seja, para grandes
as flutuações relativas são pequenas.
Passo 9
Breve recapitulação e dicas práticas para prova (rápido, prático e amigo): ao resolver questões desse tipo na prova:
- Calcule primeiro
com cuidado nas integrais gaussianas; o truque é separar e . - Use
para achar energia média pela derivada em . - Entropia vem de
. - Calor específico por
. - Para comparar com o quântico escreva
e faça o limite usando expansão de . - Para flutuações use
ou .
Resposta
ou seja, os resultados clássicos são o limite de altas temperaturas dos resultados quânticos.