1 A energia de Zeeman associada ao spin, que corresponde ao termo de dipolo magnético para uma partícula com spin
em presença de um campo magnético é dada por:
sendo
a constante giromagnética da partícula e
o magneton de Bohr, o sinal + vale para partículas de carga negativa e - se a carga da partícula for positiva. Para um elétron
e na presença de um campo magnético ao longo do eixo
podemos escrever:
onde os valores assumidos por
são
ou
.
a) Para um campo magnético
determine a separação dos níveis de energia correspondentes ao spin para cima
(alinhado ao campo) e spin para baixo
(anti-alinhado ao campo). Qual é a frequência do fóton necessário para produzir uma transição entre esses dois níveis? Obs.: o spin do elétron tende a se anti-alinhar ao campo aplicado pois sua carga é negativa.
b) Determine a susceptibilidade magnética de um gás de elétrons em regime de altas temperaturas, que pode ser calculada através da expressão
assumindo que a probabilidade de um estado de energia com spin
seja dado por:
onde
é denominada função de partição e
.
a) Para um campo magnético
b) Determine a susceptibilidade magnética de um gás de elétrons em regime de altas temperaturas, que pode ser calculada através da expressão
Passo 1
O enunciado trata do efeito Zeeman para elétrons em um campo magnético B₀ no eixo z, de modo que o Hamiltoniano de interação é H_Z = μ_B σ_z B₀. Vamos precisar do magneton de Bohr μ_B = 9,274×10⁻²⁴ J/T, da constante de Planck h = 6,626×10⁻³⁴ J·s e, para a parte (b), da função de partição canônica e do limite βμ_BB ≪ 1.
Passo 2
Para a parte (a), os níveis de energia são E(σ)=μ_B σ B₀ com σ=±1. A separação em energia entre σ=−1 e σ=+1 é
O valor absoluto da separação é
Passo 3
Substituindo B₀=1 T e μ_B=9,274×10⁻²⁴ J/T obtemos
Em elétron-volts (1 eV=1,602×10⁻¹⁹ J):
Passo 4
A frequência do fóton que satisfaz h f = |ΔE| é
Passo 5
Para a parte (b), a probabilidade de spin σ é
O valor esperado de σ_z é
Logo a susceptibilidade é
Passo 6
No regime de altas temperaturas (β μ_B B≪1) usamos tanh(x)≈x, obtendo
Resposta
(a) ΔE=2μ_B B₀≈1,855×10⁻²³ J≈1,16×10⁻⁴ eV; f=ΔE/h≈2,80×10¹⁰ Hz.
(b) χ_m≈n μ_B²/(k_B T) no limite de altas temperaturas.
(b) χ_m≈n μ_B²/(k_B T) no limite de altas temperaturas.