1 A energia de Zeeman associada ao spin, que corresponde ao termo de dipolo magnético para uma partícula com spin S em presença de um campo magnético é dada por:
HZ= pm g muBhbar S cdot B
sendo g a constante giromagnética da partícula e muB=e hbar /(2 m) o magneton de Bohr, o sinal + vale para partículas de carga negativa e - se a carga da partícula for positiva. Para um elétron g=2 e na presença de um campo magnético ao longo do eixo z podemos escrever:
HZ=muB sigma cdot B=muB sigmaz B0
onde os valores assumidos por sigmaz são sigma=+1 ou sigma=-1.
a) Para um campo magnético B0=1 T determine a separação dos níveis de energia correspondentes ao spin para cima sigma=+1 (alinhado ao campo) e spin para baixo sigma=-1 (anti-alinhado ao campo). Qual é a frequência do fóton necessário para produzir uma transição entre esses dois níveis? Obs.: o spin do elétron tende a se anti-alinhar ao campo aplicado pois sua carga é negativa.
b) Determine a susceptibilidade magnética de um gás de elétrons em regime de altas temperaturas, que pode ser calculada através da expressão
chim=-n muBlang<=sigmazrang<=B
assumindo que a probabilidade de um estado de energia com spin sigma seja dado por:
rho(sigma)=e^-beta muB sigma BZ
onde Z=e^-beta muB B+e^beta muB B é denominada função de partição e .

Passo 1

O enunciado trata do efeito Zeeman para elétrons em um campo magnético B₀ no eixo z, de modo que o Hamiltoniano de interação é H_Z = μ_B σ_z B₀. Vamos precisar do magneton de Bohr μ_B = 9,274×10⁻²⁴ J/T, da constante de Planck h = 6,626×10⁻³⁴ J·s e, para a parte (b), da função de partição canônica e do limite βμ_BB ≪ 1.

Passo 2

Para a parte (a), os níveis de energia são E(σ)=μ_B σ B₀ com σ=±1. A separação em energia entre σ=−1 e σ=+1 é
ΔE = E(σ=-1) - E(σ=+1) = -μB B0 - (+μB B0) = -2 μB B0
O valor absoluto da separação é
|ΔE| = 2 μB B0

Passo 3

Substituindo B₀=1 T e μ_B=9,274×10⁻²⁴ J/T obtemos
|ΔE| = 2 times (9,274times10^-24,J/T) times 1,T = 1,855times10^-23,J
Em elétron-volts (1 eV=1,602×10⁻¹⁹ J):
|ΔE| approx 1,855times10^-231,602times10^-19,eV approx 1,16times10^-4,eV

Passo 4

A frequência do fóton que satisfaz h f = |ΔE| é
f = |ΔE|h = 1,855times10^-23,J6,626times10^-34,Jcdot s approx 2,80times10^10,Hz

Passo 5

Para a parte (b), a probabilidade de spin σ é
ρ(σ)=e^-β μB σ BZ, Z=e^-β μB B+e^β μB B=2cosh(β μB B)
O valor esperado de σ_z é
lang<= σz rang<==sumσ=±1σ ρ(σ)=e^-β μB B-e^β μB B2cosh(β μB B)=-tanh(β μB B)
Logo a susceptibilidade é
χm=-n μB lang<= σzrang<=B=n μBBtanh(β μB B)

Passo 6

No regime de altas temperaturas (β μ_B B≪1) usamos tanh(x)≈x, obtendo
χmapprox n μBB(β μB B)=n μB^2kB T

Resposta

(a) ΔE=2μ_B B₀≈1,855×10⁻²³ J≈1,16×10⁻⁴ eV; f=ΔE/h≈2,80×10¹⁰ Hz.
(b) χ_m≈n μ_B²/(k_B T) no limite de altas temperaturas.

Exercícios relacionados