4 Resolvendo a equação de força em um modelo simples de cargas elétricas sujeitas a um campo eletromagnético
d^2 xjd t^2+1tauj d xjd t+omega0 j^2 xj=qjmj^* E
onde E=E0 e^i omega t é o campo elétrico e a polarização do meio sendo dada por P=sumj Nj qj xj= varepsilon0 chie E deduza a expressão a seguir:
varepsilonc=varepsilon0(1+sumj omegap j^2(omega0 j^2-omega^2)+i omega / tauj)
onde varepsilon0 é a permissividade dielétrica do vácuo, omegap j é a frequência de plasma dos portadores de cargas qj dada por
omegap j^2=Nq qj^2mj^* varepsilon0
m^* é a massa efetiva do portador, Nq é a densidade de portadores qj e omega0 j é uma frequência de ressonância típica do material, tauj é um tempo médio associado à colisões que ajusta a largura da ressonância.
Sendo varepsilonc=varepsilon-i sigma / omega, determine a partir da expressão acima a condutividade sigma(omega) do material.
Para um bom metal omega0 0 e tauj gg omega. Determine então uma expressão para a condutividade do mesmo.

Passo 1

A questão nos dá a equação de movimento de uma carga ligada em um campo elétrico oscilante e a relação entre a polarização e a susceptibilidade, e já mostra que a constante dielétrica complexa é
varepsilonc=varepsilon0l(1+sumjomegap j^2omega0 j^2-omega^2+i,omega/taujr)
Precisamos usar a definição
varepsilonc=varepsilon-i,sigma(omega)omega
para isolar a condutividade sigma(omega).

Passo 2

A partir de
varepsilonc=varepsilon0+sumjvarepsilon0,omegap j^2omega0 j^2-omega^2+i,omega/tauj
e de
varepsilonc=varepsilon-i,sigmaomega
seguimos que
$$
-i,\frac{\sigma(\omega)}{\omega}=\sum_{j}\frac{\varepsilon_{0},\omega_{p j}^{2}}{\omega_{0 j}{2}-\omega{2}+i,\omega/\tau_{j}}$$
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Passo 3

Isolando sigma(omega):
$$
\sigma(\omega)= -i,\omega,\varepsilon_{0}\sum_{j}\frac{\omega_{p j}^{2}}{\omega_{0 j}{2}-\omega{2}+i,\omega/\tau_{j}}$$
Essa é a expressão geral da condutividade do meio.

Passo 4

Agora, para um bom metal fazemos omega0 jto0 e assumimos taujgg1/omega, de modo que
omega0 j^2-omega^2+i,omega/taujapprox -omega^2
Substituindo em sigma(omega) obtemos

Passo 5

sigma(omega)approx -i,omega,varepsilon0omegap^2-omega^2 = i,varepsilon0,omegap^2omega,

Resposta

A condutividade geral do material é
sigma(omega) = -i,omega,varepsilon0sumjomegap j^2omega0 j^2-omega^2+i,omega/tauj
Para um bom metal ( omega0to0 e taugg1/omega) ela se simplifica em
sigma(omega)approx i,varepsilon0,omegap^2omega

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