Uma moeda viciada é lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamentos da moeda até a ocorrência de cara, inclusive. Sabe-se que a probabilidade de sair cara é de
. Determine:
a) a probabilidade de sair cara no 30 lançamento. 0,1361
b) Quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrência de cara com pelo menos
de probabilidade.
pelo menos 4 vezes
a) a probabilidade de sair cara no 30 lançamento. 0,1361
b) Quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrência de cara com pelo menos
pelo menos 4 vezes
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e perguntas (vou deixar tudo bem claro para não nos perdermos):
-
Informação dada: a probabilidade de sair cara em cada lançamento é
. Os lançamentos são independentes. A variável aleatória conta o número de lançamentos até a primeira cara (inclusive). -
Perguntas:
a) Qual é a probabilidade de sair cara no-ésimo lançamento?
b) Quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrência de cara com pelo menosde probabilidade?
Passo 2
Entendendo o que precisamos usar (explicação didática da ideia que vamos aplicar):
-
Para obter a primeira cara exatamente no
-ésimo lançamento é preciso: nos primeiros lançamentos ocorrerem fracassos (ou seja, coroas) e no -ésimo ocorrer cara. Como os lançamentos são independentes, multiplicamos as probabilidades desses eventos. -
A probabilidade de fracasso (coroa) em um lançamento é
. Então a probabilidade de ter fracassos seguidos e depois um sucesso é
Aqui:
-
é a probabilidade de cara em um lançamento (aqui ); -
é a probabilidade de coroa; -
é o número do lançamento em que aparece a primeira cara. -
Exemplo curtinho para fixar: para
temos — ou seja, duas coroas seguidas e depois uma cara.
Passo 3
Resolvendo a parte (a) para o que está escrito no enunciado (cara no
-ésimo lançamento):
- Aplicamos a fórmula com
e :
- Esse número envolve uma potência pequena e é prática comum usar logaritmos para calcular aproximações. Faço os passos numéricos (mostrando como obter uma aproximação à mão com logs):
-
. -
. - Então
. - Multiplicando por
:
-
- Conclusão numérica: a probabilidade de a primeira cara ocorrer exatamente no
-ésimo lançamento é muito pequena:
Passo 4
Observação sobre a indicação numérica que você trouxe (
):
- Se eu calculo a fórmula para
, ou seja, para a primeira cara no -ésimo lançamento, obtenho:
- Isso mostra que o valor
corresponde a , não a . Provavelmente houve um pequeno erro de digitação no enunciado original (talvez a intenção fosse pedir o -ésimo lançamento). De qualquer forma, eu calculei corretamente para o -ésimo (resultado muito pequeno) e também mostrei o caso que gera .
Passo 5
Resolvendo a parte (b): mínimo de lançamentos para ter pelo menos
de probabilidade de obter pelo menos uma cara
- Vamos usar a probabilidade complementar: a probabilidade de não obter nenhuma cara em
lançamentos é . Assim a probabilidade de obter pelo menos uma cara em lançamentos é
- Queremos o menor
tal que
Isto é equivalente a
- Substituindo
temos . Tomamos logaritmo para resolver para :
Como
, ao dividir pela ln(0,55) o sinal não muda (mas lembramos que é negativo — neste tipo de desigualdade basta dividir e interpretar):
-
Calculando numericamente:
-
. -
. - Dividindo:
.
-
-
Como
tem de ser inteiro e queremos garantir pelo menos , precisamos arredondar para cima:
- Verificação rápida:
- Para
: (não basta). - Para
: (suficiente).
- Para
Resposta
a)
b)
b)