Uma moeda viciada é lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamentos da moeda até a ocorrência de cara, inclusive. Sabe-se que a probabilidade de sair cara é de 45 \%. Determine:
a) a probabilidade de sair cara no 30 lançamento. 0,1361
b) Quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrência de cara com pelo menos 90 \% de probabilidade.
pelo menos 4 vezes

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e perguntas (vou deixar tudo bem claro para não nos perdermos):
  • Informação dada: a probabilidade de sair cara em cada lançamento é \;p=0,45\;. Os lançamentos são independentes. A variável aleatória \;X\; conta o número de lançamentos até a primeira cara (inclusive).
  • Perguntas:
    a) Qual é a probabilidade de sair cara no 30-ésimo lançamento?
    b) Quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrência de cara com pelo menos 90\% de probabilidade?

Passo 2

Entendendo o que precisamos usar (explicação didática da ideia que vamos aplicar):
  • Para obter a primeira cara exatamente no k-ésimo lançamento é preciso: nos primeiros k-1 lançamentos ocorrerem fracassos (ou seja, coroas) e no k-ésimo ocorrer cara. Como os lançamentos são independentes, multiplicamos as probabilidades desses eventos.
  • A probabilidade de fracasso (coroa) em um lançamento é \;1-p. Então a probabilidade de ter k-1 fracassos seguidos e depois um sucesso é
P(X=k) = (1-p)^{\,k-1}\,p.
Aqui:
  • \;p\; é a probabilidade de cara em um lançamento (aqui \;p=0,45\;);
  • \;1-p\; é a probabilidade de coroa;
  • \;k\; é o número do lançamento em que aparece a primeira cara.
  • Exemplo curtinho para fixar: para k=3 temos \;P(X=3)=(1-p)^2 p — ou seja, duas coroas seguidas e depois uma cara.

Passo 3

Resolvendo a parte (a) para o que está escrito no enunciado (cara no 30-ésimo lançamento):
  • Aplicamos a fórmula com \;k=30\; e \;p=0,45:
P(X=30) = (1-0,45)^{29}\cdot 0,45 = 0,55^{29}\cdot 0,45.
  • Esse número envolve uma potência pequena e é prática comum usar logaritmos para calcular aproximações. Faço os passos numéricos (mostrando como obter uma aproximação à mão com logs):
    • \ln(0,55)\approx -0,597837.
    • \ln(0,55^{29}) = 29\cdot \ln(0,55)\approx 29\cdot(-0,597837) \approx -17,337273.
    • Então 0,55^{29} \approx e^{-17,337273} \approx 2,9626\times 10^{-8}.
    • Multiplicando por 0,45:
P(X=30) \approx 0,45 \times 2,9626\times 10^{-8} \approx 1,33\times 10^{-8}.
  • Conclusão numérica: a probabilidade de a primeira cara ocorrer exatamente no 30-ésimo lançamento é muito pequena:
P(X=30)\approx 1,33\times 10^{-8}.

Passo 4

Observação sobre a indicação numérica que você trouxe ( 0,1361):
  • Se eu calculo a fórmula para k=3, ou seja, para a primeira cara no 3-ésimo lançamento, obtenho:
P(X=3)=(0,55)^2\cdot 0,45=0,3025\cdot 0,45=0,136125\approx 0,1361.
  • Isso mostra que o valor 0,1361 corresponde a P(X=3), não a P(X=30). Provavelmente houve um pequeno erro de digitação no enunciado original (talvez a intenção fosse pedir o 3-ésimo lançamento). De qualquer forma, eu calculei corretamente para o 30-ésimo (resultado muito pequeno) e também mostrei o caso k=3 que gera 0,1361.

Passo 5

Resolvendo a parte (b): mínimo de lançamentos para ter pelo menos 90\% de probabilidade de obter pelo menos uma cara
  • Vamos usar a probabilidade complementar: a probabilidade de não obter nenhuma cara em n lançamentos é (1-p)^n. Assim a probabilidade de obter pelo menos uma cara em n lançamentos é
P(\text{pelo menos 1 cara em }n) = 1-(1-p)^n.
  • Queremos o menor n tal que
1-(1-p)^n \ge 0,90.
Isto é equivalente a
(1-p)^n \le 0,10.
  • Substituindo \;p=0,45\; temos (1-p)=0,55. Tomamos logaritmo para resolver para n:
0,55^n \le 0,10 \quad\Longrightarrow\quad n\cdot \ln(0,55)\le \ln(0,10).
Como \ln(0,55)<0, ao dividir pela ln(0,55) o sinal não muda (mas lembramos que é negativo — neste tipo de desigualdade basta dividir e interpretar):
n \ge \frac{\ln(0,10)}{\ln(0,55)}.
  • Calculando numericamente:
    • \ln(0,10)\approx -2,302585.
    • \ln(0,55)\approx -0,597837.
    • Dividindo: \dfrac{-2,302585}{-0,597837}\approx 3,8517.
  • Como n tem de ser inteiro e queremos garantir pelo menos 90\%, precisamos arredondar para cima:
n_{\min}=4.
  • Verificação rápida:
    • Para n=3: 1-0,55^3=1-0,166375=0,833625<0,90 (não basta).
    • Para n=4: 1-0,55^4=1-0,09150625=0,90849375\ge 0,90 (suficiente).

Resposta

a) P(X=30)\approx 1,33\times 10^{-8}
b) 4

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