Sabe-se que numa corrida de revezamento de 42 km com 8 atletas (cada um correndo 5,25 km) o tempo que cada atleta demora para completar o percurso tem distribuição aproximadamente normal de média 30 minutos e desvio padrão de 8 minutos. Se 8 atletas são escolhidos ao acaso para uma prova, qual a probabilidade: a) da equipe completar o percurso em menos de 3 horas? b) da equipe completar o percurso em mais de 4 horas? c)qual é o tempo que apenas 5 \% das equipes farão abaixo dele?

Passo 1

Vou deixar clarinho o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Cada atleta tem tempo aproximadamente normal com média \mu_{\text{ind}} = 30 minutos e desvio padrão \sigma_{\text{ind}} = 8 minutos.
  • A equipe tem 8 atletas, cada um corre 5{,}25 km, mas esse detalhe da distância não entra nos cálculos porque já nos deram a distribuição dos tempos por atleta.
  • Sejam as perguntas:
    (a) qual a probabilidade da equipe completar o percurso em menos de 3 horas? (3 horas = 180 minutos);
    (b) qual a probabilidade da equipe completar o percurso em mais de 4 horas? (4 horas = 240 minutos);
    (c) qual é o tempo tal que apenas 5\% das equipes fazem abaixo dele (ou seja, o 5º percentil da distribuição do tempo total da equipe)?

Passo 2

Transformar o problema em termos probabilísticos e identificar a distribuição do tempo total da equipe.
  • Denote por T_i o tempo do atleta i, para i=1,\dots,8. Temos T_i \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} \mathcal{N}(\mu_{\text{ind}},\sigma_{\text{ind}}^2) com \mu_{\text{ind}}=30 e \sigma_{\text{ind}}=8 (minutos).
  • O tempo total da equipe é a soma
S = \sum_{i=1}^{8} T_i.
  • Propriedade fundamental (explicação didática): a soma de variáveis aleatórias normais independentes é também normal. Assim S é normal e podemos obter sua média e variância somando as médias e variâncias das componentes (isso vem da linearidade da esperança e da aditividade da variância para variáveis independentes).

Passo 3

Calcular a média e o desvio padrão de S.
  • Média de S:
\mu_S = \mathbb{E}[S] = \sum_{i=1}^8 \mathbb{E}[T_i] = 8\cdot \mu_{\text{ind}} = 8\cdot 30 = 240\\ \text{minutos}.
  • Variância de S:
\mathrm{Var}(S) = \sum_{i=1}^8 \mathrm{Var}(T_i) = 8\cdot \sigma_{\text{ind}}^2 = 8\cdot 8^2 = 8\cdot 64 = 512\\ (\text{min}^2).
  • Portanto o desvio padrão de S é
\sigma_S = \sqrt{512} = 16\sqrt{2} \approx 22{,}627\\ \text{minutos}.
  • Conclusão: S \sim \mathcal{N}\bigl(240,\; (16\sqrt{2})^2\bigr).

Passo 4

Explicar o procedimento padrão para calcular probabilidades com a normal.
  • Para calcular P(S < a) ou P(S > a) padronizamos para a variável normal padrão Z\sim\mathcal{N}(0,1) usando
Z = \frac{S-\mu_S}{\sigma_S}.
  • Assim
P(S < a) = P\!\left(Z < \frac{a-\mu_S}{\sigma_S}\right), \qquad P(S > a) = P\!\left(Z > \frac{a-\mu_S}{\sigma_S}\right).
  • Para obter valores numéricos usa-se tabela da normal padrão ou calculadora: a tabela fornece \Phi(z)=P(Z\le z). Use a simetria \Phi(-z)=1-\Phi(z).

Passo 5

Calcular a probabilidade (a): equipe completa em menos de 3 horas ( 180 minutos).
  • Padronização:
z_a = \frac{180-\mu_S}{\sigma_S} = \frac{180-240}{16\sqrt{2}} = \frac{-60}{16\sqrt{2}} \approx -2{,}6526.
  • Usando a tabela da normal padrão ou calculadora:
P(S<180)=P\!\left(Z< -2{,}6526\right)=\Phi(-2{,}6526).
  • Pela simetria e valores tabelados, \Phi(-2{,}6526)\approx 0{,}0040.
  • Interpretação: cerca de 0{,}4\% das equipes fazem o tempo total abaixo de 3 horas.

Passo 6

Calcular a probabilidade (b): equipe completa em mais de 4 horas ( 240 minutos).
  • Padronização:
z_b = \frac{240-\mu_S}{\sigma_S} = \frac{240-240}{16\sqrt{2}} = 0.
  • Então
P(S>240)=P(Z>0)=1-\Phi(0)=1-0{,}5=0{,}5.
  • Interpretação: há exatamente 50\% de chance da equipe demorar mais do que a média 240 minutos — isso ocorre porque a média é 240 e a distribuição é simétrica.

Passo 7

Calcular o tempo (c) tal que apenas 5\% das equipes fazem abaixo dele (o 5º percentil).
  • Denote por t_{0{,}05} o número procurado. Precisamos de P(S < t_{0{,}05}) = 0{,}05.
  • Padronizando, isso equivale a encontrar z tal que \Phi(z)=0{,}05. O quantil correspondente é z_{0{,}05}\approx -1{,}64485 (tabelas usam -1{,}645 como aproximação).
  • Converter para tempo:
t_{0{,}05} = \mu_S + z_{0{,}05}\,\sigma_S = 240 + (-1{,}64485)\cdot 16\sqrt{2}.
  • Cálculo numérico:
t_{0{,}05} \approx 240 - 1{,}64485\cdot 22{,}627 \approx 240 - 37{,}228 \approx 202{,}77\\ \text{minutos}.

Passo 8

Converter o resultado do item (c) em horas, minutos e segundos para ver intuitivamente.
  • 202{,}77 minutos = 3 horas ( 3\cdot 60 = 180 minutos) mais 202{,}77-180 = 22{,}77 minutos.
  • 0{,}77 minutos = 0{,}77\cdot 60 \approx 46{,}2 segundos.
  • Portanto t_{0{,}05}\approx 3\\ \text{h}\\\ 22\\ \text{min}\\\ 46\\ \text{s}.

Resposta

(a) \;0{,}0040
(b) \;0{,}5
(c) \;202{,}77\\ \text{minutos} \approx 3\\ \text{h}\\\ 22\\ \text{min}\\\ 46\\ \text{s}

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