Sabe-se que numa corrida de revezamento de 42 km com 8 atletas (cada um correndo 5,25 km) o tempo que cada atleta demora para completar o percurso tem distribuição aproximadamente normal de média 30 minutos e desvio padrão de 8 minutos. Se 8 atletas são escolhidos ao acaso para uma prova, qual a probabilidade: a) da equipe completar o percurso em menos de 3 horas? b) da equipe completar o percurso em mais de 4 horas? c)qual é o tempo que apenas
das equipes farão abaixo dele?
Passo 1
Vou deixar clarinho o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
- Cada atleta tem tempo aproximadamente normal com média
minutos e desvio padrão minutos. - A equipe tem
atletas, cada um corre km, mas esse detalhe da distância não entra nos cálculos porque já nos deram a distribuição dos tempos por atleta. - Sejam as perguntas:
(a) qual a probabilidade da equipe completar o percurso em menos de 3 horas? (3 horas = 180 minutos);
(b) qual a probabilidade da equipe completar o percurso em mais de 4 horas? (4 horas = 240 minutos);
(c) qual é o tempo tal que apenasdas equipes fazem abaixo dele (ou seja, o 5º percentil da distribuição do tempo total da equipe)?
Passo 2
Transformar o problema em termos probabilísticos e identificar a distribuição do tempo total da equipe.
- Denote por
o tempo do atleta , para . Temos com e (minutos). - O tempo total da equipe é a soma
- Propriedade fundamental (explicação didática): a soma de variáveis aleatórias normais independentes é também normal. Assim
é normal e podemos obter sua média e variância somando as médias e variâncias das componentes (isso vem da linearidade da esperança e da aditividade da variância para variáveis independentes).
Passo 3
Calcular a média e o desvio padrão de
.
- Média de
:
- Variância de
:
- Portanto o desvio padrão de
é
- Conclusão:
.
Passo 4
Explicar o procedimento padrão para calcular probabilidades com a normal.
- Para calcular
ou padronizamos para a variável normal padrão usando
- Assim
- Para obter valores numéricos usa-se tabela da normal padrão ou calculadora: a tabela fornece
. Use a simetria .
Passo 5
Calcular a probabilidade (a): equipe completa em menos de 3 horas (
minutos).
- Padronização:
- Usando a tabela da normal padrão ou calculadora:
- Pela simetria e valores tabelados,
. - Interpretação: cerca de
das equipes fazem o tempo total abaixo de 3 horas.
Passo 6
Calcular a probabilidade (b): equipe completa em mais de 4 horas (
minutos).
- Padronização:
- Então
- Interpretação: há exatamente
de chance da equipe demorar mais do que a média minutos — isso ocorre porque a média é e a distribuição é simétrica.
Passo 7
Calcular o tempo (c) tal que apenas
das equipes fazem abaixo dele (o 5º percentil).
- Denote por
o número procurado. Precisamos de . - Padronizando, isso equivale a encontrar
tal que . O quantil correspondente é (tabelas usam como aproximação). - Converter para tempo:
- Cálculo numérico:
Passo 8
Converter o resultado do item (c) em horas, minutos e segundos para ver intuitivamente.
-
minutos = horas ( minutos) mais minutos. -
minutos = segundos. - Portanto
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)