Engenharia Ambiental e Sanitária - retas paralelas. Dois coletores subterrâneos seguem as retas
r: X=(0,0,-2)+t(5,2,0)
e
s: X=(3,4,-2)+u(5,2,0) .
Verifique que são paralelos e calcule a distância entre eles.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas no espaço em forma paramétrica e pede duas coisas:
  • Verificar se as retas são paralelas.
  • Calcular a distância entre elas.
Informações extraídas do enunciado:
  • A reta r tem um ponto e um vetor diretor:
    • Ponto em r: (0,0,-2).
    • Vetor diretor de r: (5,2,0).
  • A reta s tem um ponto e um vetor diretor:
    • Ponto em s: (3,4,-2).
    • Vetor diretor de s: (5,2,0).
(O enunciado forneceu explicitamente os pontos e os vetores diretores nas equações paramétricas.)

Passo 2

Condição para paralelismo (explicação didática): duas retas no espaço são paralelas se e somente se os seus vetores diretores são múltiplos escalares um do outro. Em linguagem simples: se os vetores diretores apontam na mesma direção (podem diferir apenas por um fator escalar), as retas não se cruzam nem se encontram em um ângulo — elas são paralelas.
Aplicando aos vetores diretores dados:
  • Vetor diretor de r: \,(5,2,0)\,.
  • Vetor diretor de s: \,(5,2,0)\,.
Como os dois vetores são exatamente iguais (portanto são múltiplos escalares entre si com fator 1), conclui-se que as retas são paralelas.

Passo 3

Estratégia para calcular a distância entre retas paralelas (aula rápida e intuitiva):
  • A menor distância entre duas retas paralelas é a comprimento do segmento perpendicular comum a elas.
  • Uma fórmula muito prática, que vem dessa ideia geométrica, é
\text{distância}=\frac{\left\|\,\overrightarrow{P_0Q_0}\times \mathbf{v}\,\right\|}{\|\mathbf{v}\|},â
onde:
  • \mathbf{v} é um vetor diretor comum (ou de uma das retas),
  • P_0 é um ponto qualquer de uma reta (por exemplo, da reta r),
  • Q_0 é um ponto qualquer da outra reta (por exemplo, da reta s),
  • \overrightarrow{P_0Q_0} é o vetor que vai de P_0 a Q_0,
  • \times é o produto vetorial (cross product),
  • \|\cdot\| é a norma (módulo) do vetor.
    Explicação curta do porquê: \left\|\overrightarrow{P_0Q_0}\times \mathbf{v}\right\| é a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{P_0Q_0} e \mathbf{v}; dividindo essa área pela base \|\mathbf{v}\| obtém-se a altura, que é exatamente a distância perpendicular entre as retas.

Passo 4

Escolher pontos P_0 e Q_0 (peguei-os do enunciado):
  • Tomar P_0=(0,0,-2) na reta r (peguei do termo livre de r).
  • Tomar Q_0=(3,4,-2) na reta s (peguei do termo livre de s).
Calcular o vetor que vai de P_0 a Q_0:
\overrightarrow{P_0Q_0}=Q_0-P_0=(3-0,\,4-0,\, -2-(-2))=(3,4,0).
O vetor diretor comum é
\mathbf{v}=(5,2,0).

Passo 5

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{P_0Q_0}\times \mathbf{v} passo a passo:
Usando a fórmula do cross product,
(3,4,0)\times(5,2,0)=\bigl(4\cdot 0-0\cdot 2,\;0\cdot 5-3\cdot 0,\;3\cdot 2-4\cdot 5\bigr).
Calculando cada componente:
(3,4,0)\times(5,2,0)=(0,\;0,\;6-20)=(0,0,-14).
Agora a norma (módulo) desse vetor:
\left\|(0,0,-14)\right\|=\sqrt{0^2+0^2+(-14)^2}=\sqrt{196}=14.

Passo 6

Calcular a norma do vetor diretor \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{5^2+2^2+0^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}.

Passo 7

Aplicar a fórmula da distância:
\text{distância}=\frac{\left\|\overrightarrow{P_0Q_0}\times \mathbf{v}\right\|}{\|\mathbf{v}\|} =\frac{14}{\sqrt{29}}.â
Se quiser uma aproximação decimal (para intuir o valor), usando vírgula como separador:
\frac{14}{\sqrt{29}}\approx 2,599.

Resposta

Sim, as retas são paralelas.
\displaystyle \text{distância}=\dfrac{14}{\sqrt{29}}\approx 2,599â

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