Engenharia Ambiental e Sanitária - retas paralelas. Dois coletores subterrâneos seguem as retas
r: X=(0,0,-2)+t(5,2,0)
e
s: X=(3,4,-2)+u(5,2,0) .
Verifique que são paralelos e calcule a distância entre eles.
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas no espaço em forma paramétrica e pede duas coisas:
Verificar se as retas são paralelas.
Calcular a distância entre elas.
Informações extraídas do enunciado:
A reta r tem um ponto e um vetor diretor:
Ponto em r: (0,0,-2).
Vetor diretor de r: (5,2,0).
A reta s tem um ponto e um vetor diretor:
Ponto em s: (3,4,-2).
Vetor diretor de s: (5,2,0).
(O enunciado forneceu explicitamente os pontos e os vetores diretores nas equações paramétricas.)
Passo 2
Condição para paralelismo (explicação didática): duas retas no espaço são paralelas se e somente se os seus vetores diretores são múltiplos escalares um do outro. Em linguagem simples: se os vetores diretores apontam na mesma direção (podem diferir apenas por um fator escalar), as retas não se cruzam nem se encontram em um ângulo — elas são paralelas.
Aplicando aos vetores diretores dados:
Vetor diretor de r: \,(5,2,0)\,.
Vetor diretor de s: \,(5,2,0)\,.
Como os dois vetores são exatamente iguais (portanto são múltiplos escalares entre si com fator 1), conclui-se que as retas são paralelas.
Passo 3
Estratégia para calcular a distância entre retas paralelas (aula rápida e intuitiva):
A menor distância entre duas retas paralelas é a comprimento do segmento perpendicular comum a elas.
Uma fórmula muito prática, que vem dessa ideia geométrica, é
\mathbf{v} é um vetor diretor comum (ou de uma das retas),
P_0 é um ponto qualquer de uma reta (por exemplo, da reta r),
Q_0 é um ponto qualquer da outra reta (por exemplo, da reta s),
\overrightarrow{P_0Q_0} é o vetor que vai de P_0 a Q_0,
\times é o produto vetorial (cross product),
\|\cdot\| é a norma (módulo) do vetor.
Explicação curta do porquê: \left\|\overrightarrow{P_0Q_0}\times \mathbf{v}\right\| é a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{P_0Q_0} e \mathbf{v}; dividindo essa área pela base \|\mathbf{v}\| obtém-se a altura, que é exatamente a distância perpendicular entre as retas.
Passo 4
Escolher pontos P_0 e Q_0 (peguei-os do enunciado):
Tomar P_0=(0,0,-2) na reta r (peguei do termo livre de r).
Tomar Q_0=(3,4,-2) na reta s (peguei do termo livre de s).