Engenharia Civil - retas paralelas. Duas vigas paralelas de uma estrutura metálica são representadas por
r: X=(0,0,3)+t(1,0,0)
e
s: X=(0,4,3)+u(1,0,0)
Calcule a distância entre os eixos das vigas.

Passo 1

O enunciado dá duas retas (eixos das vigas) paralelas e pede a distância entre elas. As informações fornecidas são:
  • Reta r: \displaystyle X=(0,0,3)+t(1,0,0).
    • Um ponto na reta r é A=(0,0,3).
    • O vetor diretor de r é \displaystyle v=(1,0,0).
  • Reta s: \displaystyle X=(0,4,3)+u(1,0,0).
    • Um ponto na reta s é B=(0,4,3).
    • O vetor diretor de s é \displaystyle w=(1,0,0) (igual a v, as retas são paralelas).
O que se pede: calcular a distância mínima entre os eixos das vigas (distância entre essas duas retas paralelas).

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A distância entre duas retas paralelas em \mathbb{R}^3 é o comprimento do segmento perpendicular comum a ambas; geometricamente é a componente de \overrightarrow{AB} ortogonal ao vetor diretor comum.
  • Uma fórmula vetorial conveniente é
\text{dist}=\frac{\big\|\,(B-A)\times v\,\big\|}{\|v\|},
onde A é um ponto de r, B é um ponto de s, v é o vetor diretor comum, \times é o produto vetorial e \|\cdot\| é a norma (comprimento) do vetor.
Explicação rápida do porquê: (B-A)\times v produz um vetor perpendicular a v cuja norma vale \|B-A\|\cdot\|v\|\sin\theta, com \theta o ângulo entre B-A e v. Dividindo por \|v\| obtemos \|B-A\|\sin\theta, que é precisamente a componente de B-A perpendicular a v, ou seja, a distância entre as retas.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula com os dados que pegamos do enunciado:
  • Escolhemos A=(0,0,3) (peguei esse ponto da equação de r).
  • Escolhemos B=(0,4,3) (peguei esse ponto da equação de s).
  • O vetor diretor é v=(1,0,0) (peguei da parte (1,0,0) nas duas equações).
Calcule \displaystyle B-A:
B-A=(0,4,3)-(0,0,3)=(0,4,0).
Calcule o produto vetorial (B-A)\times v:
(0,4,0)\times(1,0,0) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 0 & 4 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (4\cdot 0 - 0\cdot 0)\,\mathbf{i} - (0\cdot 0 - 0\cdot 1)\,\mathbf{j} + (0\cdot 0 - 4\cdot 1)\,\mathbf{k}.
Portanto
(0,4,0)\times(1,0,0)=(0,0,-4).
Calcule a norma desse vetor:
\big\|(0,0,-4)\big\|=\sqrt{0^2+0^2+(-4)^2}=\sqrt{16}=4.
Calcule a norma de v:
\|v\|=\|(1,0,0)\|=\sqrt{1^2+0^2+0^2}=1.]

Passo 4

Agora apliquei a fórmula da distância:
\text{dist}=\frac{\big\|\,(B-A)\times v\,\big\|}{\|v\|}=\frac{4}{1}=4.
Interpretação intuitiva (confirmação): as duas retas têm a mesma coordenada z=3 e são paralelas ao eixo x; apenas diferem em y por 4 unidades (peguei essa diferença dos pontos A e B). Então o segmento perpendicular entre elas está ao longo do eixo y e tem comprimento 4, exatamente o que a conta mostrou.

Resposta

4

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