Engenharia Civil - retas paralelas. Duas vigas paralelas de uma estrutura metálica são representadas por
r: X=(0,0,3)+t(1,0,0)
e
s: X=(0,4,3)+u(1,0,0)
Calcule a distância entre os eixos das vigas.
Passo 1
O enunciado dá duas retas (eixos das vigas) paralelas e pede a distância entre elas. As informações fornecidas são:
Reta r: \displaystyle X=(0,0,3)+t(1,0,0).
Um ponto na reta r é A=(0,0,3).
O vetor diretor de r é \displaystyle v=(1,0,0).
Reta s: \displaystyle X=(0,4,3)+u(1,0,0).
Um ponto na reta s é B=(0,4,3).
O vetor diretor de s é \displaystyle w=(1,0,0) (igual a v, as retas são paralelas).
O que se pede: calcular a distância mínima entre os eixos das vigas (distância entre essas duas retas paralelas).
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
A distância entre duas retas paralelas em \mathbb{R}^3 é o comprimento do segmento perpendicular comum a ambas; geometricamente é a componente de \overrightarrow{AB} ortogonal ao vetor diretor comum.
onde A é um ponto de r, B é um ponto de s, v é o vetor diretor comum, \times é o produto vetorial e \|\cdot\| é a norma (comprimento) do vetor.
Explicação rápida do porquê: (B-A)\times v produz um vetor perpendicular a v cuja norma vale \|B-A\|\cdot\|v\|\sin\theta, com \theta o ângulo entre B-A e v. Dividindo por \|v\| obtemos \|B-A\|\sin\theta, que é precisamente a componente de B-A perpendicular a v, ou seja, a distância entre as retas.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula com os dados que pegamos do enunciado:
Escolhemos A=(0,0,3) (peguei esse ponto da equação de r).
Escolhemos B=(0,4,3) (peguei esse ponto da equação de s).
O vetor diretor é v=(1,0,0) (peguei da parte (1,0,0) nas duas equações).
Interpretação intuitiva (confirmação): as duas retas têm a mesma coordenada z=3 e são paralelas ao eixo x; apenas diferem em y por 4 unidades (peguei essa diferença dos pontos A e B). Então o segmento perpendicular entre elas está ao longo do eixo y e tem comprimento 4, exatamente o que a conta mostrou.