Engenharia de Petróleo - retas reversas. Duas trajetórias de poços são aproximadas por
r: X=(0,0,0)+t(1,2,-5)
e
s: X=(100,20,-300)+u(2,-1,-4) .
Verifique que as retas são reversas e calcule a menor distância entre elas.

Passo 1

O enunciado fornece duas retas no espaço paramétricas e pede duas coisas: verificar que elas são retas reversas (isto é, não são paralelas e não se intersectam) e calcular a menor distância entre elas.
Dados fornecidos:
  • Reta r: ponto P_r=(0,0,0) e vetor diretor \mathbf{d}_r=(1,2,-5). Escrito como
r:\;X=(0,0,0)+t(1,2,-5).
  • Reta s: ponto P_s=(100,20,-300) e vetor diretor \mathbf{d}_s=(2,-1,-4). Escrito como
s:\;X=(100,20,-300)+u(2,-1,-4).
Perguntas a responder:
  1. As retas são reversas? (isto é, verificar se são não-paralelas e não se intersectam)
  2. Qual é a menor distância entre as duas retas?

Passo 2

Verificar se os vetores diretores são paralelos. Para isso checamos se \mathbf{d}_r é múltiplo escalar de \mathbf{d}_s. Os vetores são
\mathbf{d}_r=(1,2,-5),\qquad \mathbf{d}_s=(2,-1,-4).
Se fossem paralelos existiria k tal que \mathbf{d}_r=k\,\mathbf{d}_s. Compare as razões componente a componente:
\frac{1}{2}=0,5,\qquad \frac{2}{-1}=-2,\qquad \frac{-5}{-4}=1{,}25.
As três razões não são iguais ( 0,5\neq-2\neq1{,}25), portanto não existe escalar k comum: os vetores não são paralelos. Conclusão: as retas não são paralelas.

Passo 3

Verificar se as retas se intersectam. Para isso buscamos se existem t\) e \(u\) tais que \[(0,0,0)+t(1,2,-5)=(100,20,-300)+u(2,-1,-4).
Isto gera o sistema de três equações (uma por componente):
\begin{cases} t = 100 + 2u,\\[4pt] 2t = 20 - u,\\[4pt] -5t = -300 - 4u. \end{cases}
Resolvendo as duas primeiras equações: da primeira obtemos t=100+2u\]. Substituindo na segunda: \[2(100+2u)=20-u \quad\Rightarrow\quad 200+4u=20-u \quad\Rightarrow\quad 5u=-180 \quad\Rightarrow\quad u=-36.\] Então \(t=100+2(-36)=100-72=28.
Agora verificamos a terceira equação com esses valores:
-5t=-5\cdot 28=-140,
enquanto o lado direito é
-300-4u=-300-4(-36)=-300+144=-156.
Como -140\neq-156 as três equações não são satisfeitas simultaneamente: não existem t,u que tornam os pontos iguais. Conclusão: as retas não se intersectam.
Juntando com o passo anterior (não paralelas e não se intersectam), concluímos que as retas são de facto retas reversas.]

Passo 4

Apresentar a fórmula para a menor distância entre duas retas reversas e explicar por que ela funciona.
Sejam duas retas com pontos P_r e P_s e vetores diretores \mathbf{d}_r e \mathbf{d}_s. A menor distância entre as retas é a distância entre quaisquer pontos P_r e P_s projetada na direção ortogonal ao plano formado por \mathbf{d}_r e \mathbf{d}_s. O vetor ortogonal a ambos é o produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{d}_r\times\mathbf{d}_s. A componente de \overrightarrow{P_rP_s} na direção de \mathbf{n} tem comprimento dado por
\text{dist}=\frac{\left| \overrightarrow{P_rP_s}\cdot\mathbf{n}\right|}{\|\mathbf{n}\|}.
Aqui:
  • \overrightarrow{P_rP_s}=P_s-P_r é o vetor que liga um ponto da reta r a um ponto da reta s.
  • \cdot é o produto escalar (dot product): para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) vale \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  • \times é o produto vetorial (cross product): dá um vetor perpendicular a ambos; para cálculo usa-se o determinante simbólico.
  • \|\mathbf{n}\| é a norma (comprimento) do vetor \mathbf{n}, calculada por \|\mathbf{n}\|=\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}.
Essa fórmula é prática na prova porque evita ter de resolver o ponto de mínima distância via sistemas: basta calcular um cross e um dot.

Passo 5

Calcular o produto vetorial \mathbf{d}_r\times\mathbf{d}_s. Usando determinante:
\mathbf{d}_r\times\mathbf{d}_s=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] 1 & 2 & -5 \\[4pt] 2 & -1 & -4 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo:
\mathbf{d}_r\times\mathbf{d}_s=\mathbf{i}(2\cdot(-4)-(-5)\cdot(-1))-\mathbf{j}(1\cdot(-4)-(-5)\cdot 2)+\mathbf{k}(1\cdot(-1)-2\cdot 2).
Compute cada termo:
\mathbf{i}(-8-5)=\mathbf{i}(-13),\qquad -\mathbf{j}(-4-(-10))=-\mathbf{j}(6)=-6\mathbf{j},
\mathbf{k}(-1-4)=\mathbf{k}(-5).
Portanto
\mathbf{d}_r\times\mathbf{d}_s=(-13,-6,-5).
Calcule a norma:
\|\mathbf{d}_r\times\mathbf{d}_s\|=\sqrt{(-13)^2+(-6)^2+(-5)^2}=\sqrt{169+36+25}=\sqrt{230}.]

Passo 6

Calcular \overrightarrow{P_rP_s} e o produto escalar com o cross.
\overrightarrow{P_rP_s}=P_s-P_r=(100,20,-300)-(0,0,0)=(100,20,-300).
Calcule o produto escalar \overrightarrow{P_rP_s}\cdot(\mathbf{d}_r\times\mathbf{d}_s):
(100,20,-300)\cdot(-13,-6,-5)=100\cdot(-13)+20\cdot(-6)+(-300)\cdot(-5).
Compute termo a termo:
100\cdot(-13)=-1300,\qquad 20\cdot(-6)=-120,\qquad (-300)\cdot(-5)=1500.
Somando:
-1300-120+1500=80.
Agora aplicamos a fórmula da distância:
\text{dist}=\frac{\left|\overrightarrow{P_rP_s}\cdot(\mathbf{d}_r\times\mathbf{d}_s)\right|}{\|\mathbf{d}_r\times\mathbf{d}_s\|}=\frac{|80|}{\sqrt{230}}=\frac{80}{\sqrt{230}}.
Aproximação numérica (para conferir):
\sqrt{230}\approx15{,}165751\quad\Rightarrow\quad \frac{80}{\sqrt{230}}\approx5{,}275.

Resposta

Sim — as retas são reversas (não são paralelas e não se intersectam).
\displaystyle \text{Menor distância}=\frac{80}{\sqrt{230}}\approx5{,}275â

Exercícios relacionados