Engenharia de Petróleo - retas reversas. Duas trajetórias de poços são aproximadas por
r: X=(0,0,0)+t(1,2,-5)
e
s: X=(100,20,-300)+u(2,-1,-4) .
Verifique que as retas são reversas e calcule a menor distância entre elas.
Passo 1
O enunciado fornece duas retas no espaço paramétricas e pede duas coisas: verificar que elas são retas reversas (isto é, não são paralelas e não se intersectam) e calcular a menor distância entre elas.
Dados fornecidos:
Reta r: ponto P_r=(0,0,0) e vetor diretor \mathbf{d}_r=(1,2,-5). Escrito como
r:\;X=(0,0,0)+t(1,2,-5).
Reta s: ponto P_s=(100,20,-300) e vetor diretor \mathbf{d}_s=(2,-1,-4). Escrito como
s:\;X=(100,20,-300)+u(2,-1,-4).
Perguntas a responder:
As retas são reversas? (isto é, verificar se são não-paralelas e não se intersectam)
Qual é a menor distância entre as duas retas?
Passo 2
Verificar se os vetores diretores são paralelos. Para isso checamos se \mathbf{d}_r é múltiplo escalar de \mathbf{d}_s. Os vetores são
As três razões não são iguais (0,5\neq-2\neq1{,}25), portanto não existe escalar k comum: os vetores não são paralelos. Conclusão: as retas não são paralelas.
Passo 3
Verificar se as retas se intersectam. Para isso buscamos se existem t\) e \(u\) tais que
\[(0,0,0)+t(1,2,-5)=(100,20,-300)+u(2,-1,-4).
Isto gera o sistema de três equações (uma por componente):
Resolvendo as duas primeiras equações: da primeira obtemos t=100+2u\]. Substituindo na segunda:
\[2(100+2u)=20-u \quad\Rightarrow\quad 200+4u=20-u \quad\Rightarrow\quad 5u=-180 \quad\Rightarrow\quad u=-36.\]
Então \(t=100+2(-36)=100-72=28.
Agora verificamos a terceira equação com esses valores:
-5t=-5\cdot 28=-140,
enquanto o lado direito é
-300-4u=-300-4(-36)=-300+144=-156.
Como -140\neq-156 as três equações não são satisfeitas simultaneamente: não existem t,u que tornam os pontos iguais. Conclusão: as retas não se intersectam.
Juntando com o passo anterior (não paralelas e não se intersectam), concluímos que as retas são de facto retas reversas.]
Passo 4
Apresentar a fórmula para a menor distância entre duas retas reversas e explicar por que ela funciona.
Sejam duas retas com pontos P_r e P_s e vetores diretores \mathbf{d}_r e \mathbf{d}_s. A menor distância entre as retas é a distância entre quaisquer pontos P_r e P_s projetada na direção ortogonal ao plano formado por \mathbf{d}_r e \mathbf{d}_s. O vetor ortogonal a ambos é o produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{d}_r\times\mathbf{d}_s. A componente de \overrightarrow{P_rP_s} na direção de \mathbf{n} tem comprimento dado por