Engenharia de Petróleo. Uma zona geológica sensível está no ponto
Z=(300,200,-1500)
A trajetória aproximada de um poço é dada por
r: X=(0,0,0)+t(1,1.5,-3)
Calcule a menor distância entre a zona sensível e a trajetória do poço.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Ponto da zona sensível: Z=(300,200,-1500).
Trajetória do poço (reta): \displaystyle r:\;X=(0,0,0)+t(1,1{,}5,-3), com parâmetro t\in\mathbb{R}.
Pergunta: calcular a menor distância entre o ponto Z e a reta r.
Informações úteis que eu vou usar (ainda sem resolver): a reta passa pela origem A=(0,0,0) e tem vetor diretor v=(1,\,1{,}5,\,-3). A menor distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3 pode ser obtida por uma fórmula que envolve produto vetorial (explico no próximo passo).
Passo 2
Forma escolhida para calcular a menor distância e porquê (explicação didática).
Seja A um ponto qualquer da reta (aqui A=(0,0,0)), seja v o vetor diretor da reta e seja w=Z-A o vetor do ponto A ao ponto Z.
Geometricamente, o módulo do produto vetorial \|w\times v\| é a área do paralelogramo gerado por w e v. Essa área também é dada por \|w\|\,\|v\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre w e v.
A altura desse paralelogramo em relação à base \|v\| é exatamente a distância d do ponto à reta, pois altura = base \times sen \theta dividido por base dá sen \theta multiplicado por \|w\|. Assim:
d=\frac{\|w\times v\|}{\|v\|}.
Vou usar essa fórmula porque é direta e calcula a perpendicular (menor) distância sem precisar resolver um sistema.
Passo 3
Calcular os vetores envolvidos.
Escolho A=(0,0,0) (um ponto da reta dado no enunciado).
O vetor diretor é v=(1,\,1{,}5,\,-3).
O vetor de A até Z é
w=Z-A=(300,\,200,\,-1500).
Passo 4
Calcular o produto vetorial w\times v passo a passo.