Engenharia de Petróleo. Uma zona geológica sensível está no ponto
Z=(300,200,-1500)
A trajetória aproximada de um poço é dada por
r: X=(0,0,0)+t(1,1.5,-3)
Calcule a menor distância entre a zona sensível e a trajetória do poço.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Ponto da zona sensível: Z=(300,200,-1500).
  • Trajetória do poço (reta): \displaystyle r:\;X=(0,0,0)+t(1,1{,}5,-3), com parâmetro t\in\mathbb{R}.
  • Pergunta: calcular a menor distância entre o ponto Z e a reta r.
Informações úteis que eu vou usar (ainda sem resolver): a reta passa pela origem A=(0,0,0) e tem vetor diretor v=(1,\,1{,}5,\,-3). A menor distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3 pode ser obtida por uma fórmula que envolve produto vetorial (explico no próximo passo).

Passo 2

Forma escolhida para calcular a menor distância e porquê (explicação didática).
  • Seja A um ponto qualquer da reta (aqui A=(0,0,0)), seja v o vetor diretor da reta e seja w=Z-A o vetor do ponto A ao ponto Z.
  • Geometricamente, o módulo do produto vetorial \|w\times v\| é a área do paralelogramo gerado por w e v. Essa área também é dada por \|w\|\,\|v\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre w e v.
  • A altura desse paralelogramo em relação à base \|v\| é exatamente a distância d do ponto à reta, pois altura = base \times sen \theta dividido por base dá sen \theta multiplicado por \|w\|. Assim:
d=\frac{\|w\times v\|}{\|v\|}.
  • Vou usar essa fórmula porque é direta e calcula a perpendicular (menor) distância sem precisar resolver um sistema.

Passo 3

Calcular os vetores envolvidos.
  • Escolho A=(0,0,0) (um ponto da reta dado no enunciado).
  • O vetor diretor é v=(1,\,1{,}5,\,-3).
  • O vetor de A até Z é
w=Z-A=(300,\,200,\,-1500).

Passo 4

Calcular o produto vetorial w\times v passo a passo.
Usando a regra do determinante:
w\times v= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 300 & 200 & -1500 \\\\ 1 & 1{,}5 & -3 \end{vmatrix}.
Calculo componente a componente:
  • Componente \mathbf{i}:
200\cdot(-3)-(-1500)\cdot1{,}5 = -600 - (-2250)=1650.
  • Componente \mathbf{j} (lembre o sinal negativo na fórmula):
-(300\cdot(-3)-(-1500)\cdot1)= -(-900 - (-1500))= -( -900 +1500)= -600.
  • Componente \mathbf{k}:
300\cdot1{,}5 - 200\cdot1 = 450-200=250.
Portanto
w\times v=(1650,\,-600,\,250).

Passo 5

Calcular o módulo \|w\times v\|.
Calculo as potências e a soma:
\|w\times v\|=\sqrt{1650^{2}+(-600)^{2}+250^{2}}.
Agora os quadrados:
1650^{2}=2\,722\,500,\qquad 600^{2}=360\,000,\qquad 250^{2}=62\,500.
Somando:
1650^{2}+600^{2}+250^{2}=2\,722\,500+360\,000+62\,500=3\,145\,000.
Logo
\|w\times v\|=\sqrt{3\,145\,000}.

Passo 6

Calcular o módulo \|v\|.
\|v\|=\sqrt{1^{2}+1{,}5^{2}+(-3)^{2} }=\sqrt{1+2{,}25+9}=\sqrt{12{,}25}=3{,}5.

Passo 7

Aplicar a fórmula da distância e simplificar.
d=\frac{\|w\times v\|}{\|v\|}=\frac{\sqrt{3\,145\,000}}{3{,}5}.
Posso também escrever de forma ligeiramente diferente:
d=\frac{2\sqrt{3\,145\,000}}{7}.
Agora cálculo numérico aproximado (para uso na prova normalmente pede valor numérico):
\sqrt{3\,145\,000}\approx 1\,773{,}415\quad\Rightarrow\quad d\approx\frac{1\,773{,}415}{3{,}5}\approx 506{,}69.
Observação prática (verificação rápida que pode ser feita na prova): a projeção do ponto Z na reta tem parâmetro
t=\frac{w\cdot v}{v\cdot v}=\frac{300\cdot1+200\cdot1{,}5+(-1500)\cdot(-3)}{12{,}25}=\frac{5100}{12{,}25}=\frac{20400}{49}\approx416{,}33,
e o ponto correspondente na reta é P=t(1,1{,}5,-3). O vetor Z-P é perpendicular a v e tem norma igual a d calculado acima (isso confirma o resultado).

Resposta

\,506{,}69

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