Engenharia Química - retas reversas. Duas tubulações em níveis diferentes são dadas por
r: X=(0,0,1)+t(4,1,0)
e
s: X=(5,8,4)+u(1,-2,1)
Calcule a menor distância entre as tubulações.

Passo 1

O enunciado dá duas retas (tubulações) e pede a menor distância entre elas. Os dados fornecidos são:
  • Reta r dada por
X = (0,0,1)+t(4,1,0),
ou seja ponto da reta r: A=(0,0,1) e vetor diretor \vec{d}_1=(4,1,0).
  • Reta s dada por
X = (5,8,4)+u(1,-2,1),
ou seja ponto da reta s: B=(5,8,4) e vetor diretor \vec{d}_2=(1,-2,1).
O que se pede: calcular a menor distância entre as duas retas (distância entre tubulações).

Passo 2

Ideia e escolha do método (explicação didática, sem pular etapas):
Quando duas retas no espaço não são paralelas nem se cruzam (retas reversas), a menor distância entre elas é a distância entre quaisquer dois pontos uma em cada reta projetada na direção perpendicular a ambas as retas. Uma forma elegante de calcular isso é usar o produto vetorial \vec{d}_1\times\vec{d}_2, que fornece um vetor ortogonal a ambas as direções. Se \vec{AB} é o vetor que liga um ponto A de r a um ponto B de s, então o componente de \vec{AB} na direção normal a ambas as retas tem comprimento dado por
\frac{\left|\vec{AB}\cdot(\vec{d}_1\times\vec{d}_2)\right|}{\left\|\vec{d}_1\times\vec{d}_2\right\|}.
Essa fração é a magnitude da projeção de \vec{AB} sobre o vetor normal \vec{d}_1\times\vec{d}_2, e portanto é a menor distância entre as retas. Vou usar esse método porque é direto e exige só produto vetorial, produto escalar e normas.

Passo 3

Calcular o vetor que liga A a B:
\vec{AB}=B-A=(5-0,\,8-0,\,4-1)=(5,8,3).
Relembrando os vetores diretores:
\vec{d}_1=(4,1,0),\qquad \vec{d}_2=(1,-2,1).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec{d}_1\times\vec{d}_2. Usando a expansão por determinante:
\vec{d}_1\times\vec{d}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 4 & 1 & 0 \\\\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot1-0\cdot(-2)) - \mathbf{j}(4\cdot1-0\cdot1) + \mathbf{k}(4\cdot(-2)-1\cdot1).
Portanto
\vec{d}_1\times\vec{d}_2 = (1,\,-4,\,-9).

Passo 5

Calcular a norma de \vec{d}_1\times\vec{d}_2:
\left\|\vec{d}_1\times\vec{d}_2\right\| = \sqrt{1^2+(-4)^2+(-9)^2} = \sqrt{1+16+81} = \sqrt{98} =7\sqrt{2}.

Passo 6

Calcular o produto escalar \vec{AB}\cdot(\vec{d}_1\times\vec{d}_2):
\vec{AB}\cdot(\vec{d}_1\times\vec{d}_2) = (5,8,3)\cdot(1,-4,-9) =5\cdot1 + 8\cdot(-4) + 3\cdot(-9) =5-32-27 = -54.
O valor absoluto é |-54|=54.

Passo 7

Aplicar a fórmula da distância e simplificar:
\text{dist} = \frac{\left|\vec{AB}\cdot(\vec{d}_1\times\vec{d}_2)\right|}{\left\|\vec{d}_1\times\vec{d}_2\right\|} = \frac{54}{7\sqrt{2}}.
Racionalizando / simplificando:
\frac{54}{7\sqrt{2}} = \frac{54\sqrt{2}}{14} = \frac{27\sqrt{2}}{7}.
Valor aproximado (para intuição): \dfrac{27\sqrt{2}}{7}\approx 5{,}4548.

Resposta

\dfrac{27\sqrt{2}}{7}
\approx 5{,}4548

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