Engenharia Química - retas reversas. Duas tubulações em níveis diferentes são dadas por
r: X=(0,0,1)+t(4,1,0)
e
s: X=(5,8,4)+u(1,-2,1)
Calcule a menor distância entre as tubulações.
Passo 1
O enunciado dá duas retas (tubulações) e pede a menor distância entre elas. Os dados fornecidos são:
Reta r dada por
X = (0,0,1)+t(4,1,0),
ou seja ponto da reta r: A=(0,0,1) e vetor diretor \vec{d}_1=(4,1,0).
Reta s dada por
X = (5,8,4)+u(1,-2,1),
ou seja ponto da reta s: B=(5,8,4) e vetor diretor \vec{d}_2=(1,-2,1).
O que se pede: calcular a menor distância entre as duas retas (distância entre tubulações).
Passo 2
Ideia e escolha do método (explicação didática, sem pular etapas):
Quando duas retas no espaço não são paralelas nem se cruzam (retas reversas), a menor distância entre elas é a distância entre quaisquer dois pontos uma em cada reta projetada na direção perpendicular a ambas as retas. Uma forma elegante de calcular isso é usar o produto vetorial \vec{d}_1\times\vec{d}_2, que fornece um vetor ortogonal a ambas as direções. Se \vec{AB} é o vetor que liga um ponto A de r a um ponto B de s, então o componente de \vec{AB} na direção normal a ambas as retas tem comprimento dado por
Essa fração é a magnitude da projeção de \vec{AB} sobre o vetor normal \vec{d}_1\times\vec{d}_2, e portanto é a menor distância entre as retas. Vou usar esse método porque é direto e exige só produto vetorial, produto escalar e normas.
Passo 3
Calcular o vetor que liga A a B:
\vec{AB}=B-A=(5-0,\,8-0,\,4-1)=(5,8,3).
Relembrando os vetores diretores:
\vec{d}_1=(4,1,0),\qquad \vec{d}_2=(1,-2,1).
Passo 4
Calcular o produto vetorial \vec{d}_1\times\vec{d}_2. Usando a expansão por determinante: