Em engenharia ambiental, a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigênio c num rio, em função da distância x, medida a partir do local de descarga de poluentes:
. Faça uma estimativa a fim de determinar o intervalo inteiro o qual apresenta uma distância aproximada na qual a concentração de oxigênio seja maior ou igual a 7, após atingir seu valor mínimo de concentração.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Passo 1
O enunciado dá a função de concentração de oxigénio em função da distância
:
Pede-se: depois de a função atingir seu valor mínimo, em que intervalo inteiro dado nas alternativas a–f existe uma distância aproximada
tal que
? As alternativas são:
(a) , (b)
, (c)
, (d)
, (e)
, (f)
.
(a)
Passo 2
Encontrar o ponto onde
atinge o mínimo (para saber o que significa “após atingir seu valor mínimo”). Para isso calculamos a derivada e achamos o ponto crítico.
Derivada de
:
logo
Explicação rápida (regra usada): a derivada de
é
. Aqui
é negativo, por isso aparecem sinais negativos interiores que foram tratados nas contas.
Passo 3
Achar
tal que
(ponto crítico):
Portanto o ponto crítico é
.
Passo 4
Verificar que esse ponto é mínimo (não máximo). Calculamos a segunda derivada:
Avalia em
:
portanto é um mínimo (segundo derivada positiva). Para confirmar quão baixo é o mínimo, calculemos
:
ou seja, a concentração cai a cerca de
em
e depois volta a subir quando
aumenta.
Passo 5
Agora queremos a distância (após o mínimo) em que
. Primeiro achamos as distâncias onde
; como a função decresceu até
e depois aumenta para 10 quando
, haverá duas soluções de
: uma antes do mínimo e outra depois. Precisamos da que é após o mínimo.
Resolver
:
Chamemos
. Sabemos que
atinge máximo em
com
, e que
quando
. Assim existem duas soluções; queremos a solução maior que
.
Passo 6
Resolver numericamente por bissecção (método simples e seguro): testamos valores de
e refinamos até localizar a raiz à precisão necessária.
Avaliações (todas em notação decimal com vírgula):
-
: , . -
: , .
Como o sinal mudou entre
e
, a raiz está nesse intervalo. Refinando (bissecção/avaliações intermediárias):
-
: . -
: .
Daí a raiz maior fica aproximadamente em
Passo 7
Interpretação final: a solução de
após o mínimo é aproximadamente
. Para
maiores que esse valor a função
aumenta e fica
. O número
pertence ao intervalo aberto
.
Resposta
(a)