Em engenharia ambiental, a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigênio c num rio, em função da distância x, medida a partir do local de descarga de poluentes: c(x)=10-20^{\star}\left(\exp \left(-0.3^{\star} x\right)-\exp \left(-0.75^{\star} x\right)\right). Faça uma estimativa a fim de determinar o intervalo inteiro o qual apresenta uma distância aproximada na qual a concentração de oxigênio seja maior ou igual a 7, após atingir seu valor mínimo de concentração.
a. (6,7)
b. (3,4)
c. (8,9)
d. (5,6)
e. (7,8)
f. (4,5)

Passo 1

O enunciado dá a função de concentração de oxigénio em função da distância x:
c(x)=10-20\left(\exp\left(-0,3x\right)-\exp\left(-0,75x\right)\right).
Pede-se: depois de a função atingir seu valor mínimo, em que intervalo inteiro dado nas alternativas a–f existe uma distância aproximada x tal que c(x)\ge 7? As alternativas são:
(a) (6,7), (b) (3,4), (c) (8,9), (d) (5,6), (e) (7,8), (f) (4,5).

Passo 2

Encontrar o ponto onde c(x) atinge o mínimo (para saber o que significa “após atingir seu valor mínimo”). Para isso calculamos a derivada e achamos o ponto crítico.
Derivada de c:
c(x)=10-20e^{-0,3x}+20e^{-0,75x},
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c'(x) = -20\cdot(-0,3)e^{-0,3x}+20\cdot(-0,75)e^{-0,75x}=6e^{-0,3x}-15e^{-0,75x}.
Explicação rápida (regra usada): a derivada de e^{ax} é a e^{ax}. Aqui a é negativo, por isso aparecem sinais negativos interiores que foram tratados nas contas.

Passo 3

Achar x tal que c'(x)=0 (ponto crítico):
6e^{-0,3x}-15e^{-0,75x}=0 \quad\Rightarrow\quad 6e^{-0,3x}=15e^{-0,75x}
\Rightarrow\quad \frac{e^{-0,3x}}{e^{-0,75x}}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2} \quad\Rightarrow\quad e^{0,45x}=2,5
\Rightarrow\quad x=\frac{\ln(2,5)}{0,45}\approx\frac{0,91629}{0,45}\approx 2,036.
Portanto o ponto crítico é x\approx 2,036.

Passo 4

Verificar que esse ponto é mínimo (não máximo). Calculamos a segunda derivada:
c''(x)=6\cdot(-0,3)e^{-0,3x}-15\cdot(-0,75)e^{-0,75x}=-1,8e^{-0,3x}+11,25e^{-0,75x}.
Avalia em x\approx 2,036:
c''(2,036)\approx -1,8\cdot 0,543 + 11,25\cdot 0,217 \approx -0,977 + 2,441 \approx 1,464>0,
portanto é um mínimo (segundo derivada positiva). Para confirmar quão baixo é o mínimo, calculemos c(2,036):
c(2,036)\approx 10-20(0,543-0,217)=10-20(0,326)=10-6,52\approx 3,48,
ou seja, a concentração cai a cerca de 3,48 em x\approx 2,036 e depois volta a subir quando x aumenta.

Passo 5

Agora queremos a distância (após o mínimo) em que c(x)\ge 7. Primeiro achamos as distâncias onde c(x)=7; como a função decresceu até x\approx 2,036 e depois aumenta para 10 quando x\to\infty, haverá duas soluções de c(x)=7: uma antes do mínimo e outra depois. Precisamos da que é após o mínimo.
Resolver c(x)=7:
10-20\left(e^{-0,3x}-e^{-0,75x}\right)=7
\Rightarrow\quad e^{-0,3x}-e^{-0,75x}= \frac{3}{20}=0,15.
Chamemos g(x)=e^{-0,3x}-e^{-0,75x}. Sabemos que g atinge máximo em x\approx 2,036 com g_{\max}\approx 0,326>0,15, e que g(x)\to 0 quando x\to\infty. Assim existem duas soluções; queremos a solução maior que 2,036.

Passo 6

Resolver numericamente por bissecção (método simples e seguro): testamos valores de x e refinamos até localizar a raiz à precisão necessária.
Avaliações (todas em notação decimal com vírgula):
  • x=6: e^{-0,3\cdot 6}=e^{-1,8}\approx 0,165299, e^{-0,75\cdot6}=e^{-4,5}\approx 0,011109. g(6)\approx 0,165299-0,011109=0,154190>0,15.
  • x=6,12: e^{-0,3\cdot6,12}=e^{-1,836}\approx 0,1594, e^{-0,75\cdot6,12}=e^{-4,59}\approx 0,01016. g(6,12)\approx 0,1594-0,01016=0,14924<0,15.
Como o sinal mudou entre x=6 e x=6,12, a raiz está nesse intervalo. Refinando (bissecção/avaliações intermediárias):
  • x=6,10: g(6,10)\approx 0,15006>0,15.
  • x=6,1035: g(6,1035)\approx 0,14996<0,15.
Daí a raiz maior fica aproximadamente em
x\approx 6,103\quad(\text{aproximação numérica}).çãé

Passo 7

Interpretação final: a solução de c(x)=7 após o mínimo é aproximadamente x\approx 6,103. Para x maiores que esse valor a função c(x) aumenta e fica \ge 7. O número 6,103 pertence ao intervalo aberto (6,7).

Resposta

(a)

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