Engenharia Ambiental e Sanitária. Um ponto de lançamento de efluente tratado está em
P=(120,35,-6)
e um ponto de monitoramento no corpo hídrico está em
Q=(420,210,-12) .
Calcule a distância direta entre esses dois pontos.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no espacio tridimensional e pede a distância direta entre eles. Os dados (peguei-os do enunciado) são:
  • Ponto de lançamento: P=(120,35,-6).
  • Ponto de monitoramento: Q=(420,210,-12).
    A pergunta é: qual é a distância em linha reta entre P e Q? (A resposta ficará na mesma unidade em que as coordenadas foram dadas.)

Passo 2

Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos em 3D. Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras aplicado em três dimensões: se P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2), então a distância d é
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
Explicando cada símbolo: x_1,y_1,z_1 são as coordenadas do ponto P; x_2,y_2,z_2 são as coordenadas do ponto Q. Subtrai-se cada par de coordenadas correspondentes para obter as diferenças nas direções x, y e z; depois soma-se o quadrado dessas diferenças e tira-se a raiz quadrada para obter a distância direta.

Passo 3

Calcular as diferenças de coordenadas (peguei os valores dos pontos no enunciado):
\Delta x = x_2-x_1 = 420-120 = 300,
\Delta y = y_2-y_1 = 210-35 = 175,
\Delta z = z_2-z_1 = -12-(-6) = -6.
Observação: o sinal de \Delta z pode ser negativo; ao elevar ao quadrado isso desaparece.

Passo 4

Calcular os quadrados de cada diferença:
(\Delta x)^2 = 300^2 = 90\,000,
(\Delta y)^2 = 175^2 = 30\,625,
(\Delta z)^2 = (-6)^2 = 36.

Passo 5

Somar os quadrados:
(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2 = 90\,000+30\,625+36 = 120\,661.

Passo 6

Agora tirar a raiz quadrada:
d=\sqrt{120\,661}.
Para aproximar a raiz, podemos ver que
347^2=120\,409\quad\text{e}\quad348^2=121\,104,
logo \sqrt{120\,661} está entre 347 e 348. A diferença até 347^2 é 120\,661-120\,409=252, e a diferença entre os quadrados consecutivos é 348^2-347^2=695. Aproximando por interpolação linear:
\sqrt{120\,661}\approx 347+\frac{252}{695}\approx 347,3626\ldots

Passo 7

Arredondando para duas casas decimais (valor geralmente suficiente para medições práticas), obtemos
d\approx 347,36.
Força aí — é só aplicar a mesma receita em qualquer par de pontos 3D que aparecer na prova!

Resposta

347,36

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