Engenharia Civil. Um sensor instalado em uma viga está no ponto
P=(4,7,3)
O eixo de um pilar vertical é dado por
r: X=(4,5,0)+t(0,0,1)
Calcule o afastamento lateral do sensor em relação ao eixo do pilar.

Passo 1

O enunciado fornece claramente os seguintes dados:
  • O ponto do sensor é \,P=(4,7,3).
  • O eixo do pilar é a reta paramétrica
r:\; X=(4,5,0)+t(0,0,1).
Ou seja, a reta passa por um ponto A=(4,5,0) e tem vetor diretor \mathbf{v}=(0,0,1).
O que é pedido:
  • Calcular o afastamento lateral do sensor em relação ao eixo do pilar, isto é, a menor distância entre o ponto P e a reta r.

Passo 2

Escolha do método e ideia geométrica (explicação didática).
  • Para encontrar a menor distância entre um ponto e uma reta em \mathbb{R}^3 usa-se uma fórmula vetorial muito prática:
d=\frac{\big\|\overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}\big\|}{\|\mathbf{v}\|},
onde \,A é um ponto qualquer da reta (aqui A=(4,5,0)), \overrightarrow{AP}=P-A é o vetor que vai de A até P, e \mathbf{v} é o vetor diretor da reta.
  • Intuição da fórmula (explicação simples): o módulo do produto vetorial \|\overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}\| é a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AP} e \mathbf{v}. Essa área é igual a \|\mathbf{v}\| (base) vezes a altura (que é exatamente a distância perpendicular d); isolando a altura obtém-se a fórmula acima.
  • Vou aplicar essa fórmula passo a passo, explicando cada cálculo.

Passo 3

Calcular o vetor \overrightarrow{AP}.
  • Tomando A=(4,5,0) e P=(4,7,3),
\overrightarrow{AP}=P-A=(4-4,\;7-5,\;3-0)=(0,2,3).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}.
  • Aqui \overrightarrow{AP}=(0,2,3) e \mathbf{v}=(0,0,1).
  • Uso a fórmula componente a componente:
\overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}=\big(2\cdot1-3\cdot0,\;3\cdot0-0\cdot1,\;0\cdot0-2\cdot0\big)=(2,0,0).
(Detalhe: para (a_1,a_2,a_3)\times(b_1,b_2,b_3) as componentes são (a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1).)

Passo 5

Calcular os módulos necessários.
  • Módulo do produto vetorial:
\big\|\overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}\big\|=\|(2,0,0)\|=\sqrt{2^{2}+0^{2}+0^{2}}=\sqrt{4}=2.
  • Módulo do vetor diretor:
\|\mathbf{v}\|=\|(0,0,1)\|=\sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{2}}=1.

Passo 6

Aplicar a fórmula da distância e concluir.
  • Substituindo na fórmula
d=\frac{\big\|\overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}\big\|}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{2}{1}=2.
  • Interpretação final: o afastamento lateral do sensor em relação ao eixo do pilar é \,2 (nas mesmas unidades usadas nas coordenadas).

Resposta

2

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