Engenharia Ambiental e Sanitária. Uma estação de captação está no ponto
C=(80,40,0)
Um canal de drenagem segue a reta
r: X=(0,0,0)+t(10,6,0)
Calcule a menor distância da estação ao canal.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados:
A estação de captação está no ponto \,C=(80,40,0).
O canal de drenagem segue a reta paramétrica
r:\;X=(0,0,0)+t(10,6,0),\quad t\in\mathbb{R}.
O que é pedido:
Calcular a menor distância da estação (ponto C) ao canal (reta r).
Passo 2
Primeiro organizamos as informações vetoriais extraídas do enunciado (peguei os números da equação da reta e do ponto dado):
Um ponto qualquer da reta é A=(0,0,0) (é o ponto quando t=0 na equação paramétrica).
O vetor diretor da reta é \,v=(10,6,0) (coeficiente multiplicando t na reta).
O vetor que liga A a C é \,AC=C-A.
Agora vamos explicar a ideia do método (com calma e sem jargão): a menor distância do ponto C a uma reta é a distância ao segmento perpendicular que sai da reta até o ponto. Em álgebra vetorial isso aparece como a componente de AC perpendicular a v. Há duas formas equivalentes e rápidas de calcular essa distância:
Usar produto vetorial: a área do paralelogramo gerado por AC e v vale |AC\times v| = |AC|\,|v|\,\sin\theta. A altura desse paralelogramo (que é exatamente a distância perpendicular entre o ponto e a reta) é \dfrac{|AC\times v|}{|v|}. Portanto
\text{distância}=\frac{|AC\times v|}{|v|}.
Alternativamente, projetar AC em v e subtrair; a norma do componente perpendicular dá a mesma distância. Vou usar o método do produto vetorial porque fica bem direto aqui (vetores no plano (x,y) simplificam bastante).
Passo 3
Calculamos os vetores numéricos:
Como A=(0,0,0) e C=(80,40,0),
AC=C-A=(80,40,0).
O vetor diretor já é
v=(10,6,0).
Passo 4
Calculamos o produto vetorial \,AC\times v. Usando a fórmula dos determinantes (com as componentes):