Engenharia Ambiental e Sanitária. Uma estação de captação está no ponto
C=(80,40,0)
Um canal de drenagem segue a reta
r: X=(0,0,0)+t(10,6,0)
Calcule a menor distância da estação ao canal.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • A estação de captação está no ponto \,C=(80,40,0).
  • O canal de drenagem segue a reta paramétrica
r:\;X=(0,0,0)+t(10,6,0),\quad t\in\mathbb{R}.
O que é pedido:
  • Calcular a menor distância da estação (ponto C) ao canal (reta r).

Passo 2

Primeiro organizamos as informações vetoriais extraídas do enunciado (peguei os números da equação da reta e do ponto dado):
  • Um ponto qualquer da reta é A=(0,0,0) (é o ponto quando t=0 na equação paramétrica).
  • O vetor diretor da reta é \,v=(10,6,0) (coeficiente multiplicando t na reta).
  • O vetor que liga A a C é \,AC=C-A.
Agora vamos explicar a ideia do método (com calma e sem jargão): a menor distância do ponto C a uma reta é a distância ao segmento perpendicular que sai da reta até o ponto. Em álgebra vetorial isso aparece como a componente de AC perpendicular a v. Há duas formas equivalentes e rápidas de calcular essa distância:
  1. Usar produto vetorial: a área do paralelogramo gerado por AC e v vale |AC\times v| = |AC|\,|v|\,\sin\theta. A altura desse paralelogramo (que é exatamente a distância perpendicular entre o ponto e a reta) é \dfrac{|AC\times v|}{|v|}. Portanto
\text{distância}=\frac{|AC\times v|}{|v|}.â
  1. Alternativamente, projetar AC em v e subtrair; a norma do componente perpendicular dá a mesma distância. Vou usar o método do produto vetorial porque fica bem direto aqui (vetores no plano (x,y) simplificam bastante).

Passo 3

Calculamos os vetores numéricos:
  • Como A=(0,0,0) e C=(80,40,0),
AC=C-A=(80,40,0).
  • O vetor diretor já é
v=(10,6,0).

Passo 4

Calculamos o produto vetorial \,AC\times v. Usando a fórmula dos determinantes (com as componentes):
AC\times v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 80 & 40 & 0 \\\\ 10 & 6 & 0 \end{vmatrix}.
Como as componentes z são 0, o produto vale apenas na direção \mathbf{k}:
AC\times v=(0,0,\,80\cdot6-40\cdot10)=(0,0,480-400)=(0,0,80).
Portanto a magnitude é
|AC\times v|=\sqrt{0^2+0^2+80^2}=80.

Passo 5

Agora calculamos a norma de v:
|v|=\sqrt{10^2+6^2+0^2}=\sqrt{100+36}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}.

Passo 6

Aplicamos a fórmula da distância via produto vetorial:
\text{distância}=\frac{|AC\times v|}{|v|}=\frac{80}{2\sqrt{34}}=\frac{40}{\sqrt{34}}.â
Podemos racionalizar o denominador, se preferir uma forma sem raiz no denominador:
\frac{40}{\sqrt{34}}=\frac{40\sqrt{34}}{34}=\frac{20\sqrt{34}}{17}.
Se quiser uma aproximação decimal rápida:
\frac{40}{\sqrt{34}}\approx 6{,}859\ldots
Força aí — já é um resultado pronto que dá pra justificar e reproduzir na prova.

Resposta

\dfrac{20\sqrt{34}}{17}

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