- (Engenharia de Materiais) A resistência de um material se refere à sua capacidade de suportar cargas e forças sem falhar ou deformar excessivamente. Um outro conceito importante relacionado é o de tensão, que é a força por unidade de área aplicada a um material. Assim, quando as tensões são distribuídas uniformemente em um material, ele consegue suportar melhor as cargas, o que aumenta sua durabilidade.
Deseja-se desenvolver um novo material bioinspirado com base na estrutura de fibras encontradas em plantas, que seguem padrões de crescimento natural. Sabe-se que a Sequência de Fibonacci pode ser usada para otimizar a distribuição de fibras nesse material, de modo a maximizar a resistência e minimizar o peso. A distribuição das camadas de fibras segue um padrão de espessuras baseadas na sequência de Fibonacci, que é dada por:
Considere que o material projetado tem 10 camadas de fibras dispostas de acordo com a sequência de Fibonacci.
(a) Calcule a espessura total do material, somando a espessura de todas as 10 camadas, considerando que a espessura da
-ésima camada de fibras é dada pela sequência de Fibonacci.
(b) Sabendo que a resistência de um material é diretamente proporcional à espessura total das camadas, explique por que o uso da sequência de Fibonacci otimiza a distribuição das fibras no material.
Deseja-se desenvolver um novo material bioinspirado com base na estrutura de fibras encontradas em plantas, que seguem padrões de crescimento natural. Sabe-se que a Sequência de Fibonacci pode ser usada para otimizar a distribuição de fibras nesse material, de modo a maximizar a resistência e minimizar o peso. A distribuição das camadas de fibras segue um padrão de espessuras baseadas na sequência de Fibonacci, que é dada por:
(a) Calcule a espessura total do material, somando a espessura de todas as 10 camadas, considerando que a espessura da
(b) Sabendo que a resistência de um material é diretamente proporcional à espessura total das camadas, explique por que o uso da sequência de Fibonacci otimiza a distribuição das fibras no material.
Passo 1
O enunciado pede:
– (a) Calcular a espessura total de um material formado por 10 camadas, cuja espessura da -ésima camada é dada pelo
-ésimo termo da Sequência de Fibonacci
– (a) Calcular a espessura total de um material formado por 10 camadas, cuja espessura da
– (b) Explicar por que usar essa sequência otimiza a distribuição das fibras, sabendo que a resistência é diretamente proporcional à espessura total.
Passo 2
Vamos listar os 10 primeiros termos não nulos de Fibonacci (da camada 1 à 10) e somá-los.
A soma é
Sabendo a identidade
temos
Passo 3
O uso da sequência de Fibonacci otimiza a distribuição porque:
– Cada nova camada tem espessura igual à soma das duas anteriores, resultando num crescimento gradual.
– A razão entre termos sucessivos tende à razão áurea ( ), que é conhecida por proporcionar empacotamento uniforme e distribuição homogênea de tensões.
– Com poucas camadas consegue-se uma espessura total significativa, maximizando a resistência sem adicionar peso excessivo.
– Cada nova camada tem espessura igual à soma das duas anteriores, resultando num crescimento gradual.
– A razão entre termos sucessivos tende à razão áurea (
– Com poucas camadas consegue-se uma espessura total significativa, maximizando a resistência sem adicionar peso excessivo.
Resposta
(a)
unidades de espessura.
(b) A sequência gera um aumento gradual das camadas em razão constante (razão áurea), assegurando distribuição uniforme de tensões e alta espessura total com menor número de camadas, o que maximiza a resistência por peso.
(b) A sequência gera um aumento gradual das camadas em razão constante (razão áurea), assegurando distribuição uniforme de tensões e alta espessura total com menor número de camadas, o que maximiza a resistência por peso.