1. (Engenharia de Materiais) A resistência de um material se refere à sua capacidade de suportar cargas e forças sem falhar ou deformar excessivamente. Um outro conceito importante relacionado é o de tensão, que é a força por unidade de área aplicada a um material. Assim, quando as tensões são distribuídas uniformemente em um material, ele consegue suportar melhor as cargas, o que aumenta sua durabilidade.
    Deseja-se desenvolver um novo material bioinspirado com base na estrutura de fibras encontradas em plantas, que seguem padrões de crescimento natural. Sabe-se que a Sequência de Fibonacci pode ser usada para otimizar a distribuição de fibras nesse material, de modo a maximizar a resistência e minimizar o peso. A distribuição das camadas de fibras segue um padrão de espessuras baseadas na sequência de Fibonacci, que é dada por:
F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}, \quad F_{0}=0, \quad F_{1}=1
Considere que o material projetado tem 10 camadas de fibras dispostas de acordo com a sequência de Fibonacci.
(a) Calcule a espessura total do material, somando a espessura de todas as 10 camadas, considerando que a espessura da n-ésima camada de fibras é dada pela sequência de Fibonacci.
(b) Sabendo que a resistência de um material é diretamente proporcional à espessura total das camadas, explique por que o uso da sequência de Fibonacci otimiza a distribuição das fibras no material.

Passo 1

O enunciado pede:
– (a) Calcular a espessura total de um material formado por 10 camadas, cuja espessura da n-ésima camada é dada pelo n-ésimo termo da Sequência de Fibonacci
F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\quad F_{0}=0,\quad F_{1}=1.
– (b) Explicar por que usar essa sequência otimiza a distribuição das fibras, sabendo que a resistência é diretamente proporcional à espessura total.

Passo 2

Vamos listar os 10 primeiros termos não nulos de Fibonacci (da camada 1 à 10) e somá-los.
F_{1}=1,\;F_{2}=1,\;F_{3}=2,\;F_{4}=3,\;F_{5}=5,\;F_{6}=8,\;F_{7}=13,\;F_{8}=21,\;F_{9}=34,\;F_{10}=55
A soma é
\sum_{n=1}^{10}F_{n}=1+1+2+3+5+8+13+21+34+55.
Sabendo a identidade
\sum_{n=1}^{N}F_{n}=F_{N+2}-1,
temos
\sum_{n=1}^{10}F_{n}=F_{12}-1=144-1=143.

Passo 3

O uso da sequência de Fibonacci otimiza a distribuição porque:
– Cada nova camada tem espessura igual à soma das duas anteriores, resultando num crescimento gradual.
– A razão entre termos sucessivos tende à razão áurea ( \approx1,618), que é conhecida por proporcionar empacotamento uniforme e distribuição homogênea de tensões.
– Com poucas camadas consegue-se uma espessura total significativa, maximizando a resistência sem adicionar peso excessivo.

Resposta

(a) 143 unidades de espessura.
(b) A sequência gera um aumento gradual das camadas em razão constante (razão áurea), assegurando distribuição uniforme de tensões e alta espessura total com menor número de camadas, o que maximiza a resistência por peso.

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