Determine as derivadas parciais.
f(x, y, z)=e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y,z)=e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}.
O conteúdo é derivada parcial e vamos usar a regra da cadeia para funções compostas, lembrando que, se f(u)=e^{u} e u=g(x,y,z), então
\frac{\partial f}{\partial x} = f'(g(x,y,z))\,\frac{\partial g}{\partial x} = e^{g(x,y,z)}\frac{\partial g}{\partial x}.

Passo 2

Definimos
g(x,y,z)=-x^{2}-y^{2}-z^{2},
de modo que
f(x,y,z)=e^{\,g(x,y,z)}.
Agora basta achar as derivadas parciais de g e aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de g:
\frac{\partial g}{\partial x}=-2x, \quad \frac{\partial g}{\partial y}=-2y, \quad \frac{\partial g}{\partial z}=-2z.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para cada variável, obtemos:
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{g(x,y,z)}\bigl(-2x\bigr) = -2x\,e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{g(x,y,z)}\bigl(-2y\bigr) = -2y\,e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}
\frac{\partial f}{\partial z} = e^{g(x,y,z)}\bigl(-2z\bigr) = -2z\,e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=-2x\,e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=-2y\,e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=-2z\,e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}

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