Um engenheiro ambiental mede a quantidade (massa) de partículas de poluição em amostras de ar (de um certo volume) coletadas na chaminé de uma usina movida a carvão. Seja
a quantidade de poluente por amostra quando um determinado dispositivo de limpeza não está operando, e seja
a quantidade de poluentes por amostra quando o dispositivo de limpeza está operando em condições ambientais semelhantes. Observa-se que
é sempre maior que
, e a densidade de probabilidade conjunta de
pode ser modelada por
Encontre
. (Em outras palavras, encontre a probabilidade de que o dispositivo de limpeza reduza a quantidade de poluente em
ou mais.)
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem duas variáveis aleatórias,
e
, com densidade conjunta
O que o exercício pede é
ou seja, a probabilidade de que, numa amostra, a concentração sem o dispositivo (
) seja pelo menos três vezes maior do que com ele (
).
Para resolver, precisamos:
Para resolver, precisamos:
- Achar
usando a condição de normalização da densidade (a integral dupla de vale 1). - Descrever a região onde
dentro do suporte dado. - Calcular a integral dupla de
sobre essa região.
Passo 2
Primeiro, normalizar a densidade: toda pdf tem que satisfazer
No nosso caso, fora do retângulo
,
, a densidade é zero. Então
Como
é constante,
Logo
Passo 3
Agora, queremos
Mas o suporte original também exige
e
. A região onde ocorrem simultaneamente essas condições e
é:
-
vai de 0 até o máximo que faça , isto é . - Para cada
nesse intervalo, vai do maior entre e . Mas note: sempre que , . Então o limite inferior de é . - E o limite superior de
continua sendo 2 (pelo suporte).
Resumindo:
Passo 4
Como
, a probabilidade é
Agora integramos em
: