Um engenheiro ambiental mede a quantidade (massa) de partículas de poluição em amostras de ar (de um certo volume) coletadas na chaminé de uma usina movida a carvão. Seja X a quantidade de poluente por amostra quando um determinado dispositivo de limpeza não está operando, e seja Y a quantidade de poluentes por amostra quando o dispositivo de limpeza está operando em condições ambientais semelhantes. Observa-se que X é sempre maior que 2 Y, e a densidade de probabilidade conjunta de (X, Y) pode ser modelada por
f(x, y)= k, & 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1,2 y <= x 0, & caso contrário á
Encontre P(X >= 3Y). (Em outras palavras, encontre a probabilidade de que o dispositivo de limpeza reduza a quantidade de poluente em 1/3 ou mais.)

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem duas variáveis aleatórias, f(x,y)= k, & 0<= y<=1,;2y<= x<=2, 0, & caso contrário e P(X>=3Y), , com densidade conjunta
á
O que o exercício pede é
ou seja, a probabilidade de que, numa amostra, a concentração sem o dispositivo ( ) seja pelo menos três vezes maior do que com ele ( ).
Para resolver, precisamos:
  1. Achar usando a condição de normalização da densidade (a integral dupla de vale 1).
  2. Descrever a região onde dentro do suporte dado.
  3. Calcular a integral dupla de sobre essa região.

Passo 2

Primeiro, normalizar a densidade: toda pdf tem que satisfazer
integral duplaR^2f(x,y),dx,dy = 1
No nosso caso, fora do retângulo integraly=0^1integralx=2y^2k,dx,dy = 1 , kintegral0^1(2 - 2y),dy = kl[2y - y^2r]0^1 = k,(2 - 1) = kcdot1 =1 , a densidade é zero. Então
boxedk = 1
Como é constante,
Logo

Passo 3

Agora, queremos
P(X>=3Y) ;=; integral duplaX>=3Y f(x,y),dx,dy
Mas o suporte original também exige 0<= y<= tfrac23, 3y <= x <= 2 e . A região onde ocorrem simultaneamente essas condições e é:
  • vai de 0 até o máximo que faça , isto é .
  • Para cada nesse intervalo, vai do maior entre e . Mas note: sempre que , . Então o limite inferior de é .
  • E o limite superior de continua sendo 2 (pelo suporte).
    Resumindo:

Passo 4

Como P(X>=3Y) =integraly=0^2/3integralx=3y^21,dx,dy =integral0^2/3l[,xr]x=3y^x=2,dy =integral0^2/3(2 - 3y),dy , a probabilidade é
integral0^2/3(2 - 3y),dy =l[2y - tfrac32,y^2r]0^2/3 =2cdottfrac23 ;-;tfrac32cdotl(tfrac23r)^!2 =tfrac43-tfrac32cdottfrac49 =tfrac43-tfrac69 =tfrac43-tfrac23 =tfrac23
Agora integramos em :

Resposta

boxedP(X >= 3Y) = tfrac23

Exercícios relacionados