Se X e Y são independentes e uniformemente distribuídas no intervalo (0,1), calcule a densidade conjunta de
U=X+Y e V=X/(X+Y).

Passo 1

Beleza, temos X e Y independentes e uniformes em (0,1). A questão pede a densidade conjunta de
U = X + Y
V = X/(X + Y)
Ou seja, precisamos usar transformação de variáveis (teoria de jacobiano) para achar f_{U,V}(u,v).

Passo 2

Primeiro a gente escreve a transformação e a sua inversa:
x = u v
y = u (1–v)
O que significa que, dado (u,v), X e Y valem isso. A inversa tá dada por:
U = x + y
V = x/(x + y)

Passo 3

Agora calculamos o jacobiano da transformação (u,v) → (x,y).
A matriz jacobiana é
[
J =
J = ∂x/∂u & ∂x/∂v [6pt] ∂y/∂u & ∂y/∂v = v & u [4pt] 1v & -,u

det(J) = v,(−u) − u,(1v) = -u,v - u + u,v = -u,
]
O determinante é
e o valor absoluto é |det(J)| = u.

Passo 4

A densidade conjunta de (X,Y) é f_{X,Y}(x,y)=1 para 0<x<1, 0<y<1, e zero caso contrário.
Logo
fU,V(u,v) = fX,Y(x,y),l| det(J)r| = 1 cdot u = u,
desde que (x,y) = (u v,,u(1–v)) caia no quadrado (0,1)×(0,1). Isso impõe:
0 < v < 1,
0 < u v < 1 ⇒ u < 1/v,
0 < u(1–v) < 1 ⇒ u < 1/(1–v).
Ou seja, a região válida é
0

Resposta

boxed fU,V(u,v) ;=; u, &se 0á

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