Se
e
são independentes e uniformemente distribuídas no intervalo
, calcule a densidade conjunta de
e
.
Passo 1
Beleza, temos X e Y independentes e uniformes em (0,1). A questão pede a densidade conjunta de
U = X + Y
V = X/(X + Y)
Ou seja, precisamos usar transformação de variáveis (teoria de jacobiano) para achar f_{U,V}(u,v).
U = X + Y
V = X/(X + Y)
Ou seja, precisamos usar transformação de variáveis (teoria de jacobiano) para achar f_{U,V}(u,v).
Passo 2
Primeiro a gente escreve a transformação e a sua inversa:
x = u v
y = u (1–v)
O que significa que, dado (u,v), X e Y valem isso. A inversa tá dada por:
U = x + y
V = x/(x + y)
x = u v
y = u (1–v)
O que significa que, dado (u,v), X e Y valem isso. A inversa tá dada por:
U = x + y
V = x/(x + y)
Passo 3
Agora calculamos o jacobiano da transformação (u,v) → (x,y).
A matriz jacobiana é
[
J =
]
O determinante é
e o valor absoluto é |det(J)| = u.
Passo 4
A densidade conjunta de (X,Y) é f_{X,Y}(x,y)=1 para 0<x<1, 0<y<1, e zero caso contrário.
Logo
Logo
desde que (x,y) = (u v,,u(1–v)) caia no quadrado (0,1)×(0,1). Isso impõe:
0 < v < 1,
0 < u v < 1 ⇒ u < 1/v,
0 < u(1–v) < 1 ⇒ u < 1/(1–v).
Ou seja, a região válida é
0 < v < 1,
0 < u v < 1 ⇒ u < 1/v,
0 < u(1–v) < 1 ⇒ u < 1/(1–v).
Ou seja, a região válida é