Um engenheiro ambiental mede a quantidade (massa) de partículas de poluição em amostras de ar (de um certo volume) coletadas na chaminé de uma usina movida a carvão. Seja X a quantidade de poluente por amostra quando um determinado dispositivo de limpeza não está operando, e seja Y a quantidade de poluentes por amostra quando o dispositivo de limpeza está operando em condições ambientais semelhantes. Observa-se que X é sempre maior que 2Y, e a densidade de probabilidade conjunta de
pode ser modelada por
Encontre o valor de
que torna esta uma função de densidade de probabilidade.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que as variáveis aleatórias X (poluente sem limpeza) e Y (com limpeza) têm densidade conjunta
e a gente precisa achar o valor de
que faz com que isso seja de fato uma função de densidade.
Conteúdo: probabilidade contínua, densidade conjunta e propriedade de normalização (integração total = 1).
O que vamos usar: configurar a integral dupla de sobre a região suportada e igualar a 1.
Conteúdo: probabilidade contínua, densidade conjunta e propriedade de normalização (integração total = 1).
O que vamos usar: configurar a integral dupla de
Passo 2
Teoria rápida: para qualquer densidade conjunta
, vale
Aqui, a região onde
é dada por
Isso significa que, pra ficar bonito, escolhemos integrar em
de 0 a 1 e em
de
até 2. Então montamos:
Passo 3
Agora, calculando:
Para resolver
, fazemos:
Então sobra