Um engenheiro ambiental mede a quantidade (massa) de partículas de poluição em amostras de ar (de um certo volume) coletadas na chaminé de uma usina movida a carvão. Seja X a quantidade de poluente por amostra quando um determinado dispositivo de limpeza não está operando, e seja Y a quantidade de poluentes por amostra quando o dispositivo de limpeza está operando em condições ambientais semelhantes. Observa-se que X é sempre maior que 2Y, e a densidade de probabilidade conjunta de (X,Y) pode ser modelada por
f(x, y)= k, & 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1,2 y <= x 0, & caso contrário á
Encontre o valor de k que torna esta uma função de densidade de probabilidade.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que as variáveis aleatórias X (poluente sem limpeza) e Y (com limpeza) têm densidade conjunta
f(x,y)= k, & 0<= x<= 2,;0<= y<= 1,;2y<= x, 0, & caso contrário, á
e a gente precisa achar o valor de que faz com que isso seja de fato uma função de densidade.
Conteúdo: probabilidade contínua, densidade conjunta e propriedade de normalização (integração total = 1).
O que vamos usar: configurar a integral dupla de sobre a região suportada e igualar a 1.

Passo 2

Teoria rápida: para qualquer densidade conjunta integral duplaR^2 f(x,y),dx,dy = 1 , vale
0<= y<= 1, 2y<= x<= 2
Aqui, a região onde integral dupla f(x,y),dx,dy = integraly=0^1!integralx=2y^2 k ,dx,dy =1 é dada por
Isso significa que, pra ficar bonito, escolhemos integrar em de 0 a 1 e em de até 2. Então montamos:

Passo 3

Agora, calculando:
integraly=0^1!integralx=2y^2 k ,dx,dy = integral0^1 kl[,xr]x=2y^x=2,dy = integral0^1 k,(2-2y),dy
Para resolver integral0^1(2-2y),dy = l[,2y - y^2r]0^1 = (2cdot1 - 1^2) - 0 = 2 - 1 = 1 , fazemos:
k times 1 = 1 Longrightarrow k = 1
Então sobra

Resposta

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