Um engenheiro ambiental mede a quantidade (massa) de partículas de poluição em amostras de ar (de um certo volume) coletadas na chaminé de uma usina movida a carvão. Seja X a quantidade de poluente por amostra quando um determinado dispositivo de limpeza não está operando, e seja Y a quantidade de poluentes por amostra quando o dispositivo de limpeza está operando em condições ambientais semelhantes. Observa-se que X é sempre maior que 2Y, e a densidade de probabilidade conjunta de (X,Y) pode ser modelada por
f(x, y)= k, & 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1,2 y <= x 0, & caso contrário á
Encontre a função de densidade condicional da quantidade de poluente por amostra quando o dispositivo de limpeza não está operando, dada a quantidade por amostra quando está funcionando.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é achar a densidade condicional de X dado Y para a quantidade de poluente. Estamos no tema de variáveis contínuas e densidade condicional. O enunciado diz que a densidade conjunta é
f(x,y)= k,&0<= x<=2,;0<= y<=1,;2y<= x, 0,&caso contrário, á
e pede . Pra isso a gente vai precisar:
  1. descobrir (pra garantir que a densidade some 1),
  2. achar a densidade marginal de , ,
  3. usar a fórmula .

Passo 2

Encontrar integraly=0^1!integralx=2y^2 k,dx,dy = 1 . A regra é que a integral dupla de integral2y^2 k,dx = k,(2-2y) valha 1:
integral0^1 k,(2-2y),dy = k[2y - y^2]0^1 = k(2 - 1) = k
Integramos em primeiro:
Agora em :
Logo .

Passo 3

Calcular a densidade marginal de fY(y) = integralx=2y^2 f(x,y),dx = integral2y^2 1,dx = 2 - 2y, :
válido para . Fora desse intervalo, .

Passo 4

Agora a densidade condicional é
fX|Y(xmid y) = f(x,y)fY(y) = 12-2y,
mas só vale quando e . Do contrário é zero.

Resposta

fX|Y(xmid y) = dfrac12-2y,&0<= y<=1,;2y<= x<=2, 0,&caso contrário á

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