Um engenheiro ambiental mede a quantidade (massa) de partículas de poluição em amostras de ar (de um certo volume) coletadas na chaminé de uma usina movida a carvão. Seja X a quantidade de poluente por amostra quando um determinado dispositivo de limpeza não está operando, e seja Y a quantidade de poluentes por amostra quando o dispositivo de limpeza está operando em condições ambientais semelhantes. Observa-se que X é sempre maior que 2Y, e a densidade de probabilidade conjunta de
pode ser modelada por
Encontre a função de densidade condicional da quantidade de poluente por amostra quando o dispositivo de limpeza não está operando, dada a quantidade por amostra quando está funcionando.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é achar a densidade condicional de X dado Y para a quantidade de poluente. Estamos no tema de variáveis contínuas e densidade condicional. O enunciado diz que a densidade conjunta é
e pede
. Pra isso a gente vai precisar:
- descobrir
(pra garantir que a densidade some 1), - achar a densidade marginal de
, , - usar a fórmula
.
Passo 2
Encontrar
. A regra é que a integral dupla de
valha 1:
Integramos em
primeiro:
Agora em
:
Logo
.
Passo 3
Calcular a densidade marginal de
:
válido para
. Fora desse intervalo,
.
Passo 4
Agora a densidade condicional é
mas só vale quando
e
. Do contrário é zero.