Um engenheiro ambiental mede a quantidade (massa) de partículas de poluição em amostras de ar (de um certo volume) coletadas na chaminé de uma usina movida a carvão. Seja X a quantidade de poluente por amostra quando um determinado dispositivo de limpeza não está operando, e seja Y a quantidade de poluentes por amostra quando o dispositivo de limpeza está operando em condições ambientais semelhantes. Observa-se que X é sempre maior que 2Y, e a densidade de probabilidade conjunta de (X,Y) pode ser modelada por
f(x, y)= k, & 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1,2 y <= x 0, & caso contrário á
Encontre a função de densidade condicional da quantidade de poluente por amostra quando o dispositivo de limpeza está operando.

Passo 1

Beleza, a gente tem duas varáveis aleatórias X e Y, que representam a massa de poluentes sem e com o dispositivo de limpeza ligado. O enunciado diz que a densidade conjunta é
f(x,y)= k,&0<= x<=2,;0<= y<=1,;2y<= x, 0,&caso contrário á
O que a gente quer é a densidade condicional de X dado Y=y, ou seja
fXmid Y(xmid y);=;f(x,y)fY(y)
Para isso a gente precisa de 3 ingredientes:
  1. A constante de normalização .
  2. A densidade marginal de Y, .
  3. Aplicar a fórmula da densidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos achar integral duplaregião k,dx,dy;=;1 usando que a integral dupla da densidade tem que dar 1:
integraly=0^1!integralx=2y^2 k,dx,dy = kintegral0^1l(2-2yr),dy = kl[2y - y^2r]0^1 = k(2-1) = k ã
A região é e, para cada , vai de até 2. Então
Daí .

Passo 3

Agora a densidade marginal de Y é
fY(y) =integralx=2y^2 f(x,y),dx =integral2y^21,dx =2 - 2y,
válido para .

Passo 4

Finalmente, a densidade condicional de X dado Y=y é
fXmid Y(xmid y) =f(x,y)fY(y) =12-2y,
mas lembre que isso só faz sentido quando está na região onde é não-nula, ou seja .

Resposta

boxed fXmid Y(xmid y) = 12(1-y),&2y<= x<=2, 0,&caso contrário á

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