Um engenheiro ambiental mede a quantidade (massa) de partículas de poluição em amostras de ar (de um certo volume) coletadas na chaminé de uma usina movida a carvão. Seja X a quantidade de poluente por amostra quando um determinado dispositivo de limpeza não está operando, e seja Y a quantidade de poluentes por amostra quando o dispositivo de limpeza está operando em condições ambientais semelhantes. Observa-se que X é sempre maior que 2Y, e a densidade de probabilidade conjunta de
pode ser modelada por
Encontre a função de densidade condicional da quantidade de poluente por amostra quando o dispositivo de limpeza está operando.
Passo 1
Beleza, a gente tem duas varáveis aleatórias X e Y, que representam a massa de poluentes sem e com o dispositivo de limpeza ligado. O enunciado diz que a densidade conjunta é
O que a gente quer é a densidade condicional de X dado Y=y, ou seja
Para isso a gente precisa de 3 ingredientes:
- A constante de normalização
. - A densidade marginal de Y,
. - Aplicar a fórmula da densidade condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos achar
usando que a integral dupla da densidade tem que dar 1:
A região é
e, para cada
,
vai de
até 2. Então
Daí
.
Passo 3
Agora a densidade marginal de Y é
válido para
.
Passo 4
Finalmente, a densidade condicional de X dado Y=y é
mas lembre que isso só faz sentido quando
está na região onde
é não-nula, ou seja
.