Um engenheiro ambiental mede a quantidade (massa) de partículas de poluição em amostras de ar (de um certo volume) coletadas na chaminé de uma usina movida a carvão. Seja X a quantidade de poluente por amostra quando um determinado dispositivo de limpeza não está operando, e seja Y a quantidade de poluentes por amostra quando o dispositivo de limpeza está operando em condições ambientais semelhantes. Observa-se que X é sempre maior que 2Y, e a densidade de probabilidade conjunta de
pode ser modelada por
e
são independentes?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma densidade conjunta
e a pergunta é: “X e Y são independentes?”
Isso é da matéria de variáveis aleatórias contínuas. Para responder, a gente vai precisar de três coisas:
Isso é da matéria de variáveis aleatórias contínuas. Para responder, a gente vai precisar de três coisas:
- determinar o valor de
usando a condição de normalização; - achar as densidades marginais
e integrando a ; - aplicar a definição de independência (isto é, checar se
em todo o domínio).
Passo 2
Calcular
impondo
.
Como só na região
e
, temos
.
Como
Logo,
.
Passo 3
Agora, a densidade marginal de
é
mas isso só vale quando
está na faixa em que existe
, ou seja
. Fora disso,
.
Passo 4
A densidade marginal de
é
válido para
.
Para testar independência, comparamos
com a densidade conjunta original
(no suporte).
Como em geral, não dá para escrever
para todo
.
Como
Resposta
X e Y não são independentes.