Um engenheiro ambiental mede a quantidade (massa) de partículas de poluição em amostras de ar (de um certo volume) coletadas na chaminé de uma usina movida a carvão. Seja X a quantidade de poluente por amostra quando um determinado dispositivo de limpeza não está operando, e seja Y a quantidade de poluentes por amostra quando o dispositivo de limpeza está operando em condições ambientais semelhantes. Observa-se que X é sempre maior que 2Y, e a densidade de probabilidade conjunta de (X,Y) pode ser modelada por
f(x, y)= k, & 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1,2 y <= x 0, & caso contrário á
X e Y são independentes?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma densidade conjunta
f(x,y)= k,&0<= x<=2,;0<= y<=1,;2y<= x, 0,&caso contrário, á
e a pergunta é: “X e Y são independentes?”
Isso é da matéria de variáveis aleatórias contínuas. Para responder, a gente vai precisar de três coisas:
  1. determinar o valor de usando a condição de normalização;
  2. achar as densidades marginais e integrando a ;
  3. aplicar a definição de independência (isto é, checar se em todo o domínio).

Passo 2

Calcular 1 =integraly=0^1!integralx=2y^2 k,dx,dy = kintegral0^1l(2-2yr),dy = kl[2y - y^2r]0^1 = k(2-1) = k impondo
.
Como só na região e , temos
Logo, .

Passo 3

Agora, a densidade marginal de fX(x) =integral-infty^+inftyf(x,y),dy =integraly=0^y=x/21,dy =x2, é
mas isso só vale quando está na faixa em que existe , ou seja . Fora disso, .

Passo 4

A densidade marginal de fY(y) =integral-infty^+inftyf(x,y),dx =integralx=2y^21,dx =2-2y, é
fX(x),fY(y) =x2cdotl(2-2yr) =x,(1-y),
válido para .
Para testar independência, comparamos
com a densidade conjunta original (no suporte).
Como em geral, não dá para escrever para todo .

Resposta

X e Y não são independentes.

Exercícios relacionados