Um engenheiro está analisando a relação entre a pressão aplicada ( x, em Pa ) em um material e a
deformação resultante ( y, em mm). Ele obteve os seguintes dados experimentais:
Pressão (x, em Pa): 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Deformação (y, em mm): 2.3 2.5 3.8 4.0 5.2
Use a equação encontrada para estimar a deformação quando a pressão aplicada for 2.8 Pa.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a relação entre pressão x e deformação y usando regressão linear simples, e depois estimar y quando x=2.8,Pa.
Conteúdo: regressão linear simples (reta de ajuste).
O que vamos usar:
  • Cálculo das médias barx e bary.
  • Fórmulas do coeficiente angular b = sum (xi - barx)(yi - bary)sum (xi - barx)^2e do coeficiente linear a = bary - b,barx

Passo 2

Primeiro, calcula as médias dos dados:
Dados:
x: 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0
y: 2.3, 2.5, 3.8, 4.0, 5.2
Soma de x: 1.0+1.5+2.0+2.5+3.0=10.0, logo
barx = 10.05 = 2.0
Soma de y: 2.3+2.5+3.8+4.0+5.2=17.8, logo
bary = 17.85 = 3.56

Passo 3

Agora calcula as somas de quadrados e de produto:
  1. Sxx = sum (xi - barx)^2 = l(sum xi^2r) - n,barx^2
    • sum xi^2 = 1.0^2 + 1.5^2 + 2.0^2 + 2.5^2 + 3.0^2 = 22.5.
    • Então Sxx = 22.5 - 5cdot(2.0)^2 = 22.5 - 20 = 2.5
      2) Sxy = sum (xi - barx)(yi - bary) = l(sum xi yir) - n,barx,bary
      - sum xi yi = 1.0cdot2.3 + 1.5cdot2.5 + 2.0cdot3.8 + 2.5cdot4.0 + 3.0cdot5.2 = 39.25.
      - Então Sxy = 39.25 - 5cdot2.0cdot3.56 = 39.25 - 35.6 = 3.65

Passo 4

Com Sxx e Sxy em mãos, calcula o coeficiente angular b e o linear a:
b = SxySxx = 3.652.5 = 1.46,
a = bary - b,barx = 3.56 - 1.46cdot2.0 = 0.64

Passo 5

A reta de regressão fica
boxedy = a + b,x = 0.64 + 1.46,x

Passo 6

Agora é só usar essa fórmula pra x = 2.8,Pa:
hat y = 0.64 + 1.46cdot2.8 = 0.64 + 4.088 = 4.728 (mm)

Resposta

A deformação estimada para x = 2.8,Pa é aproximadamente boxed4.73 mm.

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