Uma fábrica utiliza dois tipos de materiais,
e
, para produzir componentes mecânicos. Deseja-se verificar se há diferença significativa na resistência média dos componentes produzidos com esses materiais. Para isso, foram coletadas amostras:
- Material
, resistência média 200 MPa , desvio-padrão s1=10 MPa;
- Material B: n2=30, resistência média 195 MPa , desvio-padrão s2=15 MPa.
Com um nível de significância de
, há evidências para concluir que as resistências médias dos dois materiais são diferentes?
Com um nível de significância de
Passo 1
Beleza, vamos resumir rapidinho. O exercício pede pra comparar a resistência média de dois materiais (A e B) e ver se elas são diferentes usando um nível de significância de 5%. A matéria aqui é “teste de hipótese para diferença de duas médias” quando não sabemos as variâncias populacionais (vamos usar o teste t de Student na versão de Welch). Pra resolver, a gente vai precisar:
- Formular as hipóteses nula e alternativa;
- Calcular a estatística t usando as variâncias amostrais;
- Calcular os graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch);
- Pegar o valor crítico t para α/2 em uma tabela;
- Comparar e tirar a conclusão.
Passo 2
Definindo as hipóteses:
- H₀: μ_A = μ_B (não há diferença nas médias)
- H₁: μ_A ≠ μ_B (as médias são diferentes)
Explicação rápida: H₀ é o “não muda nada”, H₁ é “mudou”. Como não temos variâncias populacionais, usamos a estatística t, que compensa essa incerteza com as variâncias amostrais.
Passo 3
Calcular a estatística t (versão de Welch). A fórmula geral é
Substituindo:
Logo
Passo 4
Calcular os graus de liberdade (df) pela fórmula de Welch:
Substituindo os números:
Arredondando, df ≈ 51.
Passo 5
Valor crítico t para teste bicaudal com α = 0.05 → α/2 = 0.025 e df = 51.
Da tabela de t,
Passo 6
Comparando:
Como 1.48 < 2.009, não rejeitamos H₀. Isso significa que não temos evidência suficiente, a 5% de erro, pra dizer que as médias são diferentes.
Resposta
Não há evidências estatísticas, ao nível de 5%, de que as resistências médias dos materiais A e B sejam diferentes.