Uma fábrica utiliza dois tipos de materiais, A e B, para produzir componentes mecânicos. Deseja-se verificar se há diferença significativa na resistência média dos componentes produzidos com esses materiais. Para isso, foram coletadas amostras:
  • Material A: n 1=25, resistência média 200 MPa , desvio-padrão s1=10 MPa;
  • Material B: n2=30, resistência média 195 MPa , desvio-padrão s2=15 MPa.
    Com um nível de significância de 5 %, há evidências para concluir que as resistências médias dos dois materiais são diferentes?

Passo 1

Beleza, vamos resumir rapidinho. O exercício pede pra comparar a resistência média de dois materiais (A e B) e ver se elas são diferentes usando um nível de significância de 5%. A matéria aqui é “teste de hipótese para diferença de duas médias” quando não sabemos as variâncias populacionais (vamos usar o teste t de Student na versão de Welch). Pra resolver, a gente vai precisar:
  • Formular as hipóteses nula e alternativa;
  • Calcular a estatística t usando as variâncias amostrais;
  • Calcular os graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch);
  • Pegar o valor crítico t para α/2 em uma tabela;
  • Comparar e tirar a conclusão.

Passo 2

Definindo as hipóteses:
  • H₀: μ_A = μ_B (não há diferença nas médias)
  • H₁: μ_A ≠ μ_B (as médias são diferentes)
Explicação rápida: H₀ é o “não muda nada”, H₁ é “mudou”. Como não temos variâncias populacionais, usamos a estatística t, que compensa essa incerteza com as variâncias amostrais.

Passo 3

Calcular a estatística t (versão de Welch). A fórmula geral é
t ;=; bar x1 - bar x2raizs1^2n1 + s2^2n2
Substituindo:
bar x1 - bar x2 = 200 - 195 = 5
s1^2n1 = 10^225 = 10025 = 4 , s2^2n2 = 15^230 = 22530 = 7.5
raiz4 + 7.5 = raiz11.5 approx 3.391
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t = 53.391 approx 1.48

Passo 4

Calcular os graus de liberdade (df) pela fórmula de Welch:
df approx l(s1^2n1 + s2^2n2r)^2 (s1^2/n1)^2n1 - 1 ;+; (s2^2/n2)^2n2 - 1
Substituindo os números:
num = (4 + 7.5)^2 = 11.5^2 = 132.25
den = 4^225-1 + 7.5^230-1 = 1624 + 56.2529 approx 0.667 + 1.939 = 2.606
df approx 132.252.606 approx 50.7
Arredondando, df ≈ 51.

Passo 5

Valor crítico t para teste bicaudal com α = 0.05 → α/2 = 0.025 e df = 51.
Da tabela de t, t0.025,,51 approx 2.009

Passo 6

Comparando:
|t| = 1.48 vs tcrit = 2.009
Como 1.48 < 2.009, não rejeitamos H₀. Isso significa que não temos evidência suficiente, a 5% de erro, pra dizer que as médias são diferentes.

Resposta

Não há evidências estatísticas, ao nível de 5%, de que as resistências médias dos materiais A e B sejam diferentes.

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