Um engenheiro está analisando o tempo médio necessário para concluir uma tarefa em uma linha de produção. O tempo médio para finalizar a tarefa é de 5.4 horas, com um desvio padrão de 2 horas. Suponha que uma amostra aleatória simples de 40 tarefas seja selecionada.
Qual é a probabilidade da média amostral não diferir da média populacional em até 0.5 horas? ( 0.5 ponto)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: um engenheiro sabe que o tempo médio para concluir uma tarefa é μ = 5,4 h, com desvio-padrão σ = 2 h. A gente pega uma amostra de n = 40 tarefas e quer achar a probabilidade de a média amostral Pl(|bar X - mu|<= 0,5r) não se desviar da média populacional em até 0,5 h, ou seja
Conteúdo: distribuição da média amostral e Teorema Central do Limite. Vamos usar que, para n grande, é ~Normal .

Passo 2

Definindo a distribuição de bar X sim N!l(mu, tfracsigmaraiz nr) :
Pelo Teorema Central do Limite, quando n é grande,
sigmabar X = sigmaraiz n = 2raiz40
Aqui temos μ = 5,4 e o desvio-padrão da média (erro padrão) é

Passo 3

A probabilidade que queremos é
Pl(|bar X - mu|<= 0,5r) = Pl(mu - 0,5 <= bar X <= mu + 0,5r)
Para usar a normal padrão, a gente padroniza:
Z = bar X - musigmabar X Longrightarrow Pl(-0,5 <= bar X - mu <= 0,5r) = Pl(-0,5sigmabar X <= Z <= 0,5sigmabar Xr)

Passo 4

Calculemos o valor de sigmabar X = 2raiz40approx 0,3162, z0 = 0,50,3162approx 1,5811 :
Pl(|bar X - mu|<= 0,5r) = P(-1,5811 <= Z <= 1,5811) = Phi(1,5811) - Phi(-1,5811) = 2,Phi(1,5811) - 1
Então

Passo 5

Na tabela da Normal Padrão P = 2 times 0,9429 - 1 = 0,8858approx 0,886 , temos . Logo

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0,886 (ou 88,6%).

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