Suponha que estamos analisando o tempo médio necessário para a recuperação de uma plantação após a aplicação de um fertilizante experimental. De uma população com parâmetros desconhecidos, foi retirada uma amostra de 25 parcelas de plantação para estimar o tempo médio de recuperação mu. Os dados coletados mostram que a soma dos tempos de recuperação das 25 parcelas é de 375 dias e a variância amostral S^2=36 dias ^2.
Determine o intervalo de confiança com 95 % para a média populacional. ( 1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos por partes. O enunciado diz que a gente tem uma amostra de tamanho n=25 de parcelas de plantação, com soma dos tempos de recuperação sum xi = 375 dias e variância amostral S^2=36 (dias)^2. O que precisamos é montar um intervalo de confiança de 95% para a média populacional mu.
Conteúdo: “Intervalo de confiança para média quando a variância é desconhecida” usando a distribuição t de Student. Vamos precisar calcular a média amostral, o desvio padrão amostral, achar o valor crítico talpha/2,,n-1 e depois usar a fórmula do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a média amostral bar x e o desvio-padrão amostral S.
  • A média amostral é
bar x = 1nsumi=1^n xi = 37525 = 15 dias
  • O desvio-padrão amostral é a raiz da variância amostral:
S = raizS^2 = raiz36 = 6 dias

Passo 3

Como a variância populacional é desconhecida, a gente usa a distribuição t com df = n-1 = 24 graus de liberdade. Para um intervalo de confiança de 95%, o nível de significância é alpha = 0,05 e cada cauda tem alpha/2 = 0,025.
Precisamos do valor crítico
talpha/2,,24 = t0,025,,24
Consultando a tabela de t (ou usando calculadora), a gente acha aproximadamente
t0,025,,24 approx 2,064

Passo 4

Agora a fórmula do intervalo de confiança para a média é
bar x pm talpha/2,,n-1,Sraizn
Substituindo:
Mar>=m de erro = 2,064 times 6raiz25 = 2,064 times 65 = 2,064 times 1,2 approx 2,4768
Então o intervalo fica
15 pm 2,4768 ;longrightarrow; (15 - 2,4768,;15 + 2,4768) approx (12,5232,;17,4768)

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a média populacional mu é aproximadamente
(12,52,;17,48) dias

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