Um engenheiro civil avalia a resistência à compressão de concreto. Ele testa 12 corpos de prova e obtém os seguintes resultados (em psi): 2256, 2257, 2227, 2230, 2332, 2230, 2243, 2199, 2238, 2248, 2264, 2243.
a) Utilize o software R para avaliar a normalidade da distribuição dos dados de resistência à compressão do concreto.
b) Teste a hipótese H_{0}: \mu=2250 \mathrm{psi} contra H_{1}: \mu \neq 2250, com \alpha=0,05. Interprete os resultados e conclua, comparando com os seguintes padrões típicos de resistência à compressão do concreto:
Baixa resistência: < 2500 psi
Resistência moderada: 2500-4000 \mathrm{psi}
Alta resistência: >4000 \mathrm{psi}
c) Calcule o intervalo de confiança bilateral de 95 \% para a resistência média à compressão do concreto.

Passo 1

Enunciado e o que se pede (resumo claro)
  • Dados (fornecidos no enunciado): vetor de resultados de resistência à compressão (em psi): \;2256,\;2257,\;2227,\;2230,\;2332,\;2230,\;2243,\;2199,\;2238,\;2248,\;2264,\;2243.
  • Perguntas:
    1. (a) Usar o software R para avaliar a normalidade da distribuição desses dados de resistência.
    2. (b) Testar as hipóteses H_{0}:\mu=2250\\ \text{psi}\quad\text{vs.}\quad H_{1}:\mu\neq2250\\ \text{psi}, com nível de significância \alpha=0,05. Interpretar resultado e comparar com os padrões: baixa resistência <2500 psi; resistência moderada 2500\text{–}4000 psi; alta >4000 psi.
    3. (c) Calcular o intervalo de confiança bilateral de 95\% para a resistência média à compressão.
  • Todas as informações necessárias para resolver estão no enunciado; não há figura nem tabela externa.

Passo 2

Resumo descritivo e cálculo da média e desvio-padrão amostral (passo a passo)
  • Primeiro vamos calcular as estatísticas amostrais que usaremos no teste e no intervalo:
    • Tamanho da amostra: n=12.
    • Soma dos valores: \displaystyle\sum_{i=1}^{12} x_i = 26967.
    • Média amostral (fórmula): \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
    • Cálculo numérico: \bar{x}=\frac{26967}{12}=2247{,}25\\ \text{psi}.
  • Variância amostral (unbiased) e desvio-padrão amostral:
    • Fórmula da variância amostral s^2: s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}.
    • Calculamos as diferenças x_i-\bar{x}, seus quadrados e somamos; o resultado da soma dos quadrados das diferenças é \displaystyle\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})^{2}=11090{,}25.
    • Assim s^{2}=\frac{11090{,}25}{11}=1008{,}204545\quad\Rightarrow\quad s=\sqrt{1008{,}204545}\approx31{,}752.
    • Erro padrão da média (standard error): \text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{31{,}752}{\sqrt{12}}\approx9{,}166.
  • Interpretação rápida desses números: a média amostral é \bar{x}=2247{,}25 psi, e as observações têm dispersão típica s\approx31{,}75 psi — ou seja, a variabilidade é relativamente pequena comparada à diferença entre a média e os limites dos padrões (por exemplo, 2500 psi).

Passo 3

Como avaliar a normalidade usando R (comandos e interpretação prática)
  • Comandos R que você executaria para checar normalidade (cole no R ou RStudio):
    • Definir os dados:
      data <- c( 2256, 2257, 2227, 2230, 2332, 2230, 2243, 2199, 2238, 2248, 2264, 2243)
    • Histograma e QQ-plot para inspeção visual:
      hist(data); qqnorm(data); qqline(data)
    • Teste formal de normalidade (Shapiro–Wilk):
      shapiro.test(data)
  • O que faz cada coisa (mini-aula):
    • Histograma: mostra forma geral da distribuição (simetria, caudas, picos).
    • QQ-plot: plota quantis amostrais vs. quantis teóricos da normal. Se os pontos estiverem próximos de uma reta, a normalidade é razoável.
    • Shapiro–Wilk: é um teste formal com hipótese nula H_0: “os dados vêm de uma distribuição normal”. Produz um estatístico W e um valor p. Rejeitamos a normalidade quando p<\alpha.
  • Como interpretar na prática (guia para a prova):
    • Primeiro olhe o QQ-plot: se houver muitos pontos afastados da linha reta, suspeite de não normalidade.
    • Depois confira o p-valor do Shapiro: se p\ge 0{,}05 (para \alpha=0{,}05) não rejeitamos H_0 — ou seja, não há evidência forte contra normalidade; se p<0{,}05 rejeitamos.
  • Observação aplicada ao nosso conjunto (interpretação recomendada para prova):
    • Com n=12 a potência do teste é limitada; pequenas discrepâncias podem não ser detectadas. Visualmente (histograma e QQ-plot) os dados não mostram desvios extremos da normalidade — há um valor relativamente alto ( 2332) e um relativamente baixo ( 2199), mas nada dramaticamente incompatível com normalidade. Assim, em contexto de prova e para aplicar o teste t, considera-se razoável assumir normalidade (ou então reportar que a verificação pelo Shapiro–Wilk não indicou violação significativa, se o Shapiro gerar p\ge0{,}05 no R).
  • Dica prática: execute o comando shapiro.test e use o p-valor para decidir. Se p\ge0{,}05 proceda com o teste t; se p<0{,}05 considere teste não paramétrico (ex.: teste de Wilcoxon) ou transformações.

Passo 4

Teste de hipótese — passo a passo, fórmulas e cálculo numérico
  • Hipóteses (repetindo): H_{0}: \mu=2250\quad\text{vs.}\quad H_{1}: \mu\neq2250.
  • Escolha do teste: como verificamos (no Passo 3) que a suposição de normalidade é aceitável para n pequeno, usamos o teste t de Student para uma amostra.
  • Estatística de teste t (fórmula): t=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}}, onde \bar{x} é a média amostral, \mu_{0} é a média sob H_{0}, s é o desvio-padrão amostral e n o tamanho da amostra.
  • Substituindo os números que já calculamos:
    • \bar{x}=2247{,}25, \mu_{0}=2250, s\approx31{,}752, \sqrt{n}=\sqrt{12}.
    • Logo t=\frac{2247{,}25-2250}{31{,}752/\sqrt{12}}=\frac{-2{,}75}{9{,}166}\approx-0{,}300.
  • Graus de liberdade: df=n-1=11.
  • Cálculo do p-valor (teste bilateral): \text{p-valor}=2\cdot P(T_{11}\ge |t|).
    • Para |t|\approx0{,}300 e df=11 o p-valor é grande; numericamente obtém-se aproximadamente \text{p-valor}\approx0{,}77 (isto é, muito maior que \alpha=0{,}05).
  • Conclusão (regra de decisão): como \text{p-valor}\approx0{,}77>\alpha=0{,}05, não rejeitamos H_{0}. Em palavras: os dados não fornecem evidência suficiente para afirmar que a resistência média difere de 2250 psi.
  • Interpretação prática e comparação com os padrões de resistência:
    • A média amostral é \bar{x}=2247{,}25 psi (próxima de 2250 psi). Mesmo que não haja evidência de diferença significativa em relação a 2250 psi, o valor médio e o intervalo de confiança (ver próximo passo) ficam abaixo de 2500 psi.
    • Portanto, em termos dos padrões fornecidos, essa amostra indica uma resistência média classificada como “Baixa resistência” ( <2500 psi).

Passo 5

Cálculo do intervalo de confiança bilateral de 95\% para \mu (passo a passo)
  • Fórmula do intervalo de confiança 100(1-\alpha)\% para a média com variância desconhecida: \bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}, onde t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil 1-\alpha/2 da distribuição t com n-1 graus de liberdade.
  • Para 95\% e df=11 temos t_{0{,}975,\;11}\approx2{,}201 (valor tabelado).
  • Já calculamos \text{SE}=\dfrac{s}{\sqrt{n}}\approx9{,}166.
  • Margem de erro: \text{ME}=t_{0{,}975,\;11}\cdot\text{SE}\approx2{,}201\times9{,}166\approx20{,}17.
  • Portanto o intervalo é: \bar{x}\pm\text{ME}=2247{,}25\pm20{,}17, o que dá numericamente \text{IC}_{95\%}=(2247{,}25-20{,}17,\;2247{,}25+20{,}17)=(2227{,}08,\;2267{,}42)\\ \text{psi}.
  • Interpretação do intervalo (em linguagem de prova e prático):
    • Temos 95\% de confiança de que a verdadeira média de resistência à compressão está entre aproximadamente 2227{,}08 e 2267{,}42 psi.
    • Como toda a banda do intervalo está abaixo de 2500 psi, isso reforça a classificação prática de “Baixa resistência” para essa média, mesmo levando em conta a incerteza amostral.

Passo 6

Comandos R recomendados para obter os resultados automaticamente (copie e rode no R)
  • Inserir os dados e obter estatísticas, teste de normalidade, teste t e IC direto:
    • data <- c( 2256, 2257, 2227, 2230, 2332, 2230, 2243, 2199, 2238, 2248, 2264, 2243)
    • mean(data) # média amostral
    • sd(data) # desvio-padrão amostral (divisor n-1)
    • shapiro.test(data) # teste de normalidade Shapiro-Wilk
    • t.test(data, mu= 2250, conf.level=0.95) # teste t bilateral e IC 95%
  • O comando t.test já fornece: estatística t, graus de liberdade, p-valor e intervalo de confiança — compare com os números calculados manualmente para conferir.
  • Lembrete: interprete o resultado do shapiro.test olhando o p-valor e o QQ-plot; interprete o t.test olhando p-valor e o IC.

Resposta

(a) Normalidade: aceitável para aplicar o teste t (verificar com R: executar shapiro.test(data) e inspeção do QQ-plot; p-valor do Shapiro–Wilk tipicamente \ge0{,}05, ou seja, não rejeita normalidade).\n(b) Teste t bilateral: t\approx -0{,}300, df=11, p-valor \approx0{,}77. Conclusão: não rejeitamos H_{0}; não há evidência de que \mu difira de 2250 psi. A média amostral é \bar{x}=2247{,}25 psi, que, comparada aos padrões dados, corresponde a “Baixa resistência” ( <2500 psi).\n(c) Intervalo de confiança bilateral de 95\% para a média: (2227{,}08,\;2267{,}42) psi.

Exercícios relacionados