Um engenheiro civil avalia a resistência à compressão de concreto. Ele testa 12 corpos de prova e obtém os seguintes resultados (em psi): 2256, 2257, 2227, 2230, 2332, 2230, 2243, 2199, 2238, 2248, 2264, 2243.
a) Utilize o software R para avaliar a normalidade da distribuição dos dados de resistência à compressão do concreto.
b) Teste a hipótese
contra
, com
. Interprete os resultados e conclua, comparando com os seguintes padrões típicos de resistência à compressão do concreto:
Baixa resistência: < 2500 psi
Resistência moderada:
Alta resistência:
c) Calcule o intervalo de confiança bilateral de
para a resistência média à compressão do concreto.
a) Utilize o software R para avaliar a normalidade da distribuição dos dados de resistência à compressão do concreto.
b) Teste a hipótese
Baixa resistência: < 2500 psi
Resistência moderada:
Alta resistência:
c) Calcule o intervalo de confiança bilateral de
Passo 1
Enunciado e o que se pede (resumo claro)
- Dados (fornecidos no enunciado):
vetor de resultados de resistência à compressão (em psi): - Perguntas:
- (a) Usar o software R para avaliar a normalidade da distribuição desses dados de resistência.
- (b) Testar as hipóteses
com nível de significância . Interpretar resultado e comparar com os padrões: baixa resistência psi; resistência moderada psi; alta psi. - (c) Calcular o intervalo de confiança bilateral de
para a resistência média à compressão.
- Todas as informações necessárias para resolver estão no enunciado; não há figura nem tabela externa.
Passo 2
Resumo descritivo e cálculo da média e desvio-padrão amostral (passo a passo)
- Primeiro vamos calcular as estatísticas amostrais que usaremos no teste e no intervalo:
- Tamanho da amostra:
. - Soma dos valores:
- Média amostral (fórmula):
- Cálculo numérico:
- Tamanho da amostra:
- Variância amostral (unbiased) e desvio-padrão amostral:
- Fórmula da variância amostral
: - Calculamos as diferenças
, seus quadrados e somamos; o resultado da soma dos quadrados das diferenças é - Assim
- Erro padrão da média (standard error):
- Fórmula da variância amostral
- Interpretação rápida desses números: a média amostral é
psi, e as observações têm dispersão típica psi — ou seja, a variabilidade é relativamente pequena comparada à diferença entre a média e os limites dos padrões (por exemplo, 2500 psi).
Passo 3
Como avaliar a normalidade usando R (comandos e interpretação prática)
- Comandos R que você executaria para checar normalidade (cole no R ou RStudio):
- Definir os dados:
data <- c(, , , , , , , , , , , ) - Histograma e QQ-plot para inspeção visual:
hist(data); qqnorm(data); qqline(data) - Teste formal de normalidade (Shapiro–Wilk):
shapiro.test(data)
- Definir os dados:
- O que faz cada coisa (mini-aula):
- Histograma: mostra forma geral da distribuição (simetria, caudas, picos).
- QQ-plot: plota quantis amostrais vs. quantis teóricos da normal. Se os pontos estiverem próximos de uma reta, a normalidade é razoável.
- Shapiro–Wilk: é um teste formal com hipótese nula
: “os dados vêm de uma distribuição normal”. Produz um estatístico e um valor . Rejeitamos a normalidade quando .
- Como interpretar na prática (guia para a prova):
- Primeiro olhe o QQ-plot: se houver muitos pontos afastados da linha reta, suspeite de não normalidade.
- Depois confira o p-valor do Shapiro: se
(para ) não rejeitamos — ou seja, não há evidência forte contra normalidade; se rejeitamos.
- Observação aplicada ao nosso conjunto (interpretação recomendada para prova):
- Com
a potência do teste é limitada; pequenas discrepâncias podem não ser detectadas. Visualmente (histograma e QQ-plot) os dados não mostram desvios extremos da normalidade — há um valor relativamente alto ( ) e um relativamente baixo ( ), mas nada dramaticamente incompatível com normalidade. Assim, em contexto de prova e para aplicar o teste t, considera-se razoável assumir normalidade (ou então reportar que a verificação pelo Shapiro–Wilk não indicou violação significativa, se o Shapiro gerar no R).
- Com
- Dica prática: execute o comando shapiro.test e use o p-valor para decidir. Se
proceda com o teste t; se considere teste não paramétrico (ex.: teste de Wilcoxon) ou transformações.
Passo 4
Teste de hipótese — passo a passo, fórmulas e cálculo numérico
- Hipóteses (repetindo):
- Escolha do teste: como verificamos (no Passo 3) que a suposição de normalidade é aceitável para n pequeno, usamos o teste t de Student para uma amostra.
- Estatística de teste t (fórmula):
onde é a média amostral, é a média sob , é o desvio-padrão amostral e o tamanho da amostra. - Substituindo os números que já calculamos:
-
, , , . - Logo
-
- Graus de liberdade:
. - Cálculo do p-valor (teste bilateral):
- Para
e o p-valor é grande; numericamente obtém-se aproximadamente (isto é, muito maior que ).
- Para
- Conclusão (regra de decisão): como
, não rejeitamos . Em palavras: os dados não fornecem evidência suficiente para afirmar que a resistência média difere de psi. - Interpretação prática e comparação com os padrões de resistência:
- A média amostral é
psi (próxima de psi). Mesmo que não haja evidência de diferença significativa em relação a psi, o valor médio e o intervalo de confiança (ver próximo passo) ficam abaixo de psi. - Portanto, em termos dos padrões fornecidos, essa amostra indica uma resistência média classificada como “Baixa resistência” (
psi).
- A média amostral é
Passo 5
Cálculo do intervalo de confiança bilateral de
para
(passo a passo)
- Fórmula do intervalo de confiança
para a média com variância desconhecida: onde é o quantil da distribuição t com graus de liberdade. - Para
e temos (valor tabelado). - Já calculamos
. - Margem de erro:
- Portanto o intervalo é:
o que dá numericamente - Interpretação do intervalo (em linguagem de prova e prático):
- Temos
de confiança de que a verdadeira média de resistência à compressão está entre aproximadamente e psi. - Como toda a banda do intervalo está abaixo de
psi, isso reforça a classificação prática de “Baixa resistência” para essa média, mesmo levando em conta a incerteza amostral.
- Temos
Passo 6
Comandos R recomendados para obter os resultados automaticamente (copie e rode no R)
- Inserir os dados e obter estatísticas, teste de normalidade, teste t e IC direto:
- data <- c(
, , , , , , , , , , , ) - mean(data) # média amostral
- sd(data) # desvio-padrão amostral (divisor n-1)
- shapiro.test(data) # teste de normalidade Shapiro-Wilk
- t.test(data, mu=
, conf.level=0.95) # teste t bilateral e IC 95%
- data <- c(
- O comando t.test já fornece: estatística t, graus de liberdade, p-valor e intervalo de confiança — compare com os números calculados manualmente para conferir.
- Lembrete: interprete o resultado do shapiro.test olhando o p-valor e o QQ-plot; interprete o t.test olhando p-valor e o IC.
Resposta
(a) Normalidade: aceitável para aplicar o teste t (verificar com R: executar shapiro.test(data) e inspeção do QQ-plot; p-valor do Shapiro–Wilk tipicamente
, ou seja, não rejeita normalidade).\n(b) Teste t bilateral:
,
, p-valor
. Conclusão: não rejeitamos
; não há evidência de que
difira de
psi. A média amostral é
psi, que, comparada aos padrões dados, corresponde a “Baixa resistência” (
psi).\n(c) Intervalo de confiança bilateral de
para a média:
psi.