Um engenheiro de computação analisa um circuito impresso com uma placa condutora de \sigma=5 \times 10^{-6} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} e um dielétrico adjacente ( \epsilon_{r}=4 ) de espessura 0.02 m . Em um ambiente com campo variável \mathbf{E}=(50 x \hat{\mathbf{a x}}+30 z \hat{\mathbf{a z}}) \mathrm{V} / \mathrm{m}, calcule o campo elétrico vetorial, a capacitância para A=0.05 \mathrm{~m}^{2}, e derive a equação da continuidade considerando deriva de portadores.

Passo 1

O enunciado descreve uma placa condutora com densidade de carga de superfície \sigma=5\times10^{-6}\,\mathrm{C/m^2} colada a um dielétrico de permitividade relativa \epsilon_r=4 e espessura d=0{,}02\,\mathrm m. Há também um campo variável externo \mathbf{E}_{\text{ext}}=(50x\,\hat{\mathbf a}_x+30z\,\hat{\mathbf a}_z)\,\mathrm{V/m}. Precisamos usar:
  1. Lei de Gauss para placa infinita no dielétrico;
  2. Fórmula da capacitância de um capacitor de placas planas com dielétrico;
  3. Equação da continuidade partindo de \partial\rho/\partial t+ \nabla\cdot\mathbf J=0 e assumindo \mathbf J=\rho\,\mu\,\mathbf E (corrente de deriva).

Passo 2

Para uma placa infinita em contato com dielétrico, a densidade de fluxo elétrico normal é \mathbf D=\sigma\,\hat{\mathbf a}_y. Como \mathbf D=\epsilon_0\epsilon_r\,\mathbf E_{\text{placa}}, temos
\epsilon_0\,\epsilon_r\,E_{\text{placa}} = \sigma \quad\Longrightarrow\quad E_{\text{placa}} = \frac{\sigma}{\epsilon_0\,\epsilon_r}.
Substituindo \sigma=5\times10^{-6}\,\mathrm{C/m^2}, \epsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m} e \epsilon_r=4,
E_{\text{placa}} = \frac{5\times10^{-6}}{8{,}85\times10^{-12}\times4} \approx1{,}41\times10^{5}\,\mathrm{V/m}.
O campo devido à placa aponta do condutor para o dielétrico (eixo y), então
\mathbf E_{\text{placa}} =-1{,}41\times10^{5}\,\hat{\mathbf a}_y\quad(\mathrm{V/m}).

Passo 3

O campo total é a soma vetorial do campo externo com o campo da placa:
\mathbf E_{\text{tot}} =\mathbf E_{\text{ext}}+\mathbf E_{\text{placa}} =(50\,x)\,\hat{\mathbf a}_x \;-\;1{,}41\times10^{5}\,\hat{\mathbf a}_y\;+\;(30\,z)\,\hat{\mathbf a}_z\quad(\mathrm{V/m}).

Passo 4

Para o capacitor formado pela placa e uma contraparte paralela de área A=0{,}05\,\mathrm m^2, com dielétrico de espessura d=0{,}02\,\mathrm m, a capacitância é
C = \frac{\epsilon_0\,\epsilon_r\,A}{d} = \frac{8{,}85\times10^{-12}\times4\times0{,}05}{0{,}02} \approx8{,}85\times10^{-11}\,\mathrm F.

Passo 5

Partindo da conservação de carga, a equação da continuidade é
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf J = 0.
Para corrente de deriva \mathbf J=\rho\,\mu\,\mathbf E, onde \mu é a mobilidade, segue
\frac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\,\mu\,\mathbf E)=0.
Expandindo o divergente,
\frac{\partial\rho}{\partial t} +\mu\,\bigl(\mathbf E\cdot\nabla\rho + \rho\,\nabla\cdot\mathbf E\bigr)=0,
que é a forma desejada da continuidade considerando deriva de portadores.

Resposta

Campo total:
\mathbf E_{\text{tot}} =(50\,x)\,\hat{\mathbf a}_x \;-\;1{,}41\times10^{5}\,\hat{\mathbf a}_y\;+\;(30\,z)\,\hat{\mathbf a}_z\quad(\mathrm{V/m}).
Capacitância:
C\approx8{,}85\times10^{-11}\,\mathrm F.
Equação da continuidade com deriva:
\frac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\,\mu\,\mathbf E)=0.

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