Um engenheiro de computação analisa um circuito impresso com uma placa condutora de \sigma=5 \times 10^{-6} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} e um dielétrico adjacente ( \epsilon_{r}=4 ) de espessura 0.02 m . Em um ambiente com campo variável \mathbf{E}=(50 x \hat{\mathbf{a x}}+30 z \hat{\mathbf{a z}}) \mathrm{V} / \mathrm{m}, calcule o campo elétrico vetorial, a capacitância para A=0.05 \mathrm{~m}^{2}, e derive a equação da continuidade considerando deriva de portadores.

Passo 1

O enunciado descreve uma placa condutora com densidade de carga superficial \sigma=5\times10^{-6}\,\mathrm{C/m^2} apoiada num dielétrico de permitividade relativa \epsilon_r=4 e espessura d=0,02\\ \mathrm m. Há ainda um campo elétrico ambiente variável
\mathbf{E}_{\rm amb}(x,z)=50\,x\,\hat{\mathbf a}_x \;+\;30\,z\,\hat{\mathbf a}_z\quad(\mathrm{V/m}).
Precisamos:
  1. achar o campo elétrico vetorial total dentro do dielétrico;
  2. calcular a capacitância para área A=0,05\\ \mathrm m^2;
  3. derivar a equação da continuidade incluindo apenas o termo de deriva de portadores.

Passo 2

Dentro do dielétrico, o campo devido à placa condutora surge da condição de contorno em D:
D_n\big|_{\rm diel} - D_n\big|_{\rm cond} \;=\;\sigma_{\rm livre}.
Como no condutor D=0, temos
D = \sigma\,\hat{\mathbf n},
onde \hat{\mathbf n} é o vetor normal saindo da placa para o dielétrico (tomamos \hat{\mathbf n}=\hat{\mathbf a}_x). Logo
\mathbf D = \sigma\,\hat{\mathbf a}_x, \qquad \mathbf E_{\rm placa} = \frac{\mathbf D}{\epsilon_0\,\epsilon_r} = \frac{\sigma}{\epsilon_0\,\epsilon_r}\,\hat{\mathbf a}_x.
Numericamente,
\frac{\sigma}{\epsilon_0\,\epsilon_r} = \frac{5\times10^{-6}}{(8{,}854\times10^{-12})\cdot4} \approx1{,}41\times10^5\\ \mathrm{V/m}.
Somando com o campo ambiente, o campo total no dielétrico é
\boxed{ \mathbf E(x,z) =\Bigl(50\,x + 1{,}41\times10^5\Bigr)\hat{\mathbf a}_x \;+\;30\,z\,\hat{\mathbf a}_z\quad(\mathrm{V/m}). }

Passo 3

A capacitância de um capacitor de placas paralelas com dielétrico é
C = \frac{\epsilon_0\,\epsilon_r\,A}{d}.
Substituindo \epsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}, \epsilon_r=4, A=0,05\,\mathrm m^2 e d=0,02\,\mathrm m,
C = \frac{8{,}854\times10^{-12}\cdot4\cdot0,05}{0,02} \approx8{,}85\times10^{-11}\\ \mathrm F.
\boxed{C\approx8{,}85\times10^{-11}\\ \mathrm F.}

Passo 4

Para derivar a equação da continuidade considerando somente a deriva, usamos a conservação de carga
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\!\cdot\mathbf J = 0,
e definimos a densidade de corrente de deriva
\mathbf J_{\rm deriva} = \rho\,\mu\,\mathbf E,
onde \mu é a mobilidade dos portadores e \rho a densidade volumétrica de carga. Substituindo em continuidade:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\!\cdot\bigl(\rho\,\mu\,\mathbf E\bigr) = 0.
Essa é a equação da continuidade incluindo apenas o transporte por deriva.

Resposta

\mathbf E(x,z) = (50\,x + 1,41\times10^5)\,\hat{\mathbf a}_x + 30\,z\,\hat{\mathbf a}_z\\ \mathrm{(V/m)}
C \approx 8,85\times10^{-11}\\ \mathrm F
\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\!\cdot\bigl(\rho\,\mu\,\mathbf E\bigr)=0

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