Um engenheiro de computação coletou o tempo de resposta (em milissegundos) de um servidor web para 35 requisições aleatórias durante um pico de tráfego. Segue abaixo os dados ordenados são:
25, 27, 28, 29, 30, 30, 30, 30, 31, 31, 32, 33, 34, 35, 35, 36, 36, 37, 38, 40, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 58.
a) Construa a tabela de frequência com classes com as seguintes frequências: simples (absoluta e relativa), acumulada (absoluta e relativa) e ponto médio.
b) Calcule as medidas de posição.
c) 58% das requisições tem tempo de resposta inferior ou igual a quanto?
d) 25% das requisições tem tempo de resposta superior ou igual a quanto?
e) Calcule as medidas de dispersão.
f) Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson e classifique quanto a assimetria.
a) Construa a tabela de frequência com classes com as seguintes frequências: simples (absoluta e relativa), acumulada (absoluta e relativa) e ponto médio.
b) Calcule as medidas de posição.
c) 58% das requisições tem tempo de resposta inferior ou igual a quanto?
d) 25% das requisições tem tempo de resposta superior ou igual a quanto?
e) Calcule as medidas de dispersão.
f) Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson e classifique quanto a assimetria.
Passo 1
O enunciado fornece 35 tempos de resposta (em ms), ordenados. As perguntas são:
- (a) construir a tabela de frequência por classes com: frequência absoluta simples
, frequência relativa , acumulada absoluta , acumulada relativa e ponto médio da classe ; - (b) calcular medidas de posição;
- (c) determinar o valor tal que
das requisições têm tempo menor ou igual a esse valor; - (d) determinar o valor tal que
das requisições têm tempo maior ou igual a esse valor; - (e) calcular medidas de dispersão;
- (f) calcular o coeficiente de assimetria de Pearson e classificar a assimetria.
Informações relevantes dadas (peguei diretamente do enunciado):
- Dados ordenados (
): - Tamanho da amostra:
. - Valor mínimo:
. Valor máximo: . - Intervalo total (amplitude):
Passo 2
Escolher número de classes e amplitude das classes (explico o raciocínio):
- Uma regra prática (Sturges) dá
. Para : então escolhemos classes (valor inteiro conveniente). - Largura aproximada
. Para trabalhar com inteiros escolho . - Faixas escolhidas (cobrem de
a ): . - Essas classes têm amplitude
e contêm todos os valores inteiros do conjunto dado.
- Essas classes têm amplitude
Agora vou contar quantos valores caem em cada classe (contagem direta dos dados fornecidos).
Passo 3
Contagem por classe, cálculo das frequências e ponto médio (cada valor matemático entre
em TeX):
Contagem manual (peguei os dados do enunciado):
- Classe
: valores → . - Classe
: valores → . - Classe
: valores → . - Classe
: valores → . - Classe
: valores → . - Classe
: valores → .
Verificação:
.
Agora calculo as frequências relativas
, as acumuladas
e
, e os pontos médios
(ponto médio da classe é
):
- Classe 1:
: , , , , . - Classe 2:
: , , , , . - Classe 3:
: , , , , . - Classe 4:
: , , , , . - Classe 5:
: , , , , . - Classe 6:
: , , , , .
(As frações decimais acima estão arredondadas para 4 casas decimais quando mostrado.)
Passo 4
Medidas de posição: média, mediana, moda e quartis. Vou ensinar as fórmulas e aplicar passo a passo usando os dados.
- Média amostral
:
- Fórmula (média aritmética):
. - Calculei a soma dos dados:
(soma obtida somando todos os valores fornecidos). - Então
Explicação curta: soma todos os tempos e divide pelo número de observações.
- Mediana
(posição central):
- Para
ímpar, mediana é o elemento de ordem . - Aqui
, então mediana é o -ésimo valor da lista ordenada. - Olhando a lista ordenada, o
-ésimo valor é . - Logo
- Moda:
- Moda é o valor que mais se repete.
- Observando os dados,
aparece vezes (mais que qualquer outro valor). - Logo a moda é
- Quartis (método posicional simples):
-
é a posição -ésimo valor . -
é a mediana . -
é a posição -ésimo valor . - Portanto
, , (em ms).
Passo 5
Respostas às perguntas (c) e (d) usando a ideia de percentil/posição:
(c) “58% das requisições têm tempo de resposta inferior ou igual a quanto?”
- Para o percentil
usa-se a posição . - Isso indica o valor interpolado entre a
-ésima e -ésima observação. - Observando os dados,
e , então o percentil é . - Logo
das requisições têm tempo
(d) “25% das requisições têm tempo de resposta superior ou igual a quanto?”
- "25% têm tempo superior ou igual a
" significa que os maiores começam no percentil (ou seja, o º percentil), porque a parte superior tem . - Posição
. A -ésima observação é . - Logo
das requisições têm tempo
Passo 6
Medidas de dispersão: explico fórmulas e calculo passo a passo.
- Amplitude (range):
- Intervalo interquartílico (IQR):
- Variância e desvio padrão.
- Primeiro apresento a forma prática que usei:
(essas somas foram obtidas somando os quadrados de cada observação; fiz agrupamento por classes para não errar.) - A soma dos quadrados permite calcular a variância numérica sem subtrair cada desvio individualmente, usando:
Calculando: - Variância populacional (se considerar os dados como a população inteira):
- Variância amostral (estimator não viesado, divisão por
):
- Coeficiente de variação (CV), que é
(em %):
Observação: usei
(desvio padrão amostral) para CV porque é a prática comum quando se trata de uma amostra.
Passo 7
Coeficiente de assimetria de Pearson e classificação (explico a versão usada e calculo):
- Existem duas fórmulas de Pearson comumente usadas:
- Pearson 1:
. - Pearson 2 (mais usado):
, que mede a diferença entre média e mediana padronizada pelo desvio.
- Pearson 1:
- Vou usar a segunda (a mais comum):
- Substituindo os valores que calculamos:
, , . - Interpretação:
(positivo) indica assimetria à direita (cauda direita). Quanto à intensidade, uma regra prática: -
→ quase simétrico; -
→ assimetria moderada; -
→ assimetria forte.
-
- Assim,
significa assimetria positiva moderada (há uma tendência de cauda à direita).
Resposta
a) Tabela de frequência por classes (classe :
,
,
,
, ponto médio):
[25,30] :
[31,36] :
[37,42] :
[43,48] :
[49,54] :
[55,60] :
[25,30] :
[31,36] :
[37,42] :
[43,48] :
[49,54] :
[55,60] :
b) Medidas de posição:
-
- Mediana
- Moda
-
c)
das requisições têm tempo de resposta
d)
das requisições têm tempo de resposta
e) Medidas de dispersão:
- Amplitude (range)
- IQR
- Variância populacional
, - Variância amostral
, - Coeficiente de variação
f) Coeficiente de assimetria de Pearson (segunda forma):
→ assimetria positiva moderada (cauda à direita).