Um engenheiro de computação coletou o tempo de resposta (em milissegundos) de um servidor web para 35 requisições aleatórias durante um pico de tráfego. Segue abaixo os dados ordenados são:
25, 27, 28, 29, 30, 30, 30, 30, 31, 31, 32, 33, 34, 35, 35, 36, 36, 37, 38, 40, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 58.
a) Construa a tabela de frequência com classes com as seguintes frequências: simples (absoluta e relativa), acumulada (absoluta e relativa) e ponto médio.
b) Calcule as medidas de posição.
c) 58% das requisições tem tempo de resposta inferior ou igual a quanto?
d) 25% das requisições tem tempo de resposta superior ou igual a quanto?
e) Calcule as medidas de dispersão.
f) Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson e classifique quanto a assimetria.

Passo 1

O enunciado fornece 35 tempos de resposta (em ms), ordenados. As perguntas são:
  • (a) construir a tabela de frequência por classes com: frequência absoluta simples f_i, frequência relativa f_i/n, acumulada absoluta F_i, acumulada relativa F_i/n e ponto médio da classe \bar{x}_i;
  • (b) calcular medidas de posição;
  • (c) determinar o valor tal que 58\% das requisições têm tempo menor ou igual a esse valor;
  • (d) determinar o valor tal que 25\% das requisições têm tempo maior ou igual a esse valor;
  • (e) calcular medidas de dispersão;
  • (f) calcular o coeficiente de assimetria de Pearson e classificar a assimetria.
Informações relevantes dadas (peguei diretamente do enunciado):
  • Dados ordenados ( n=35): \;25,\;27,\;28,\;29,\;30,\;30,\;30,\;30,\;31,\;31,\;32,\;33,\;34,\;35,\;35,\;36,\;36,\;37,\;38,\;40,\;40,\;41,\;42,\;43,\;44,\;45,\;46,\;48,\;49,\;50,\;51,\;52,\;53,\;55,\;58.
  • Tamanho da amostra: n=35.
  • Valor mínimo: 25. Valor máximo: 58.
  • Intervalo total (amplitude): \;58-25=33.

Passo 2

Escolher número de classes e amplitude das classes (explico o raciocínio):
  • Uma regra prática (Sturges) dá \;k\approx 1+3{,}322\log_{10}(n). Para n=35: k \approx 1 + 3{,}322\log_{10}(35) \approx 1 + 3{,}322\cdot1{,}5441 \approx 6{,}13,então escolhemos k=6 classes (valor inteiro conveniente).
  • Largura aproximada \;h = \dfrac{\text{amplitude}}{k} = \dfrac{33}{6}=5{,}5. Para trabalhar com inteiros escolho h=6.
  • Faixas escolhidas (cobrem de 25 a 60): [25,30],\\ [31,36],\\ [37,42],\\ [43,48],\\ [49,54],\\ [55,60].
    • Essas classes têm amplitude 6 e contêm todos os valores inteiros do conjunto dado.
Agora vou contar quantos valores caem em cada classe (contagem direta dos dados fornecidos).

Passo 3

Contagem por classe, cálculo das frequências e ponto médio (cada valor matemático entre ... em TeX):
Contagem manual (peguei os dados do enunciado):
  • Classe [25,30]: valores 25,27,28,29,30,30,30,30 f_1=8.
  • Classe [31,36]: valores 31,31,32,33,34,35,35,36,36 f_2=9.
  • Classe [37,42]: valores 37,38,40,40,41,42 f_3=6.
  • Classe [43,48]: valores 43,44,45,46,48 f_4=5.
  • Classe [49,54]: valores 49,50,51,52,53 f_5=5.
  • Classe [55,60]: valores 55,58 f_6=2.
Verificação: 8+9+6+5+5+2=35=n.
Agora calculo as frequências relativas f_i/n, as acumuladas F_i e F_i/n, e os pontos médios \bar{x}_i (ponto médio da classe é (\text{limite inferior}+\text{limite superior})/2):
  • Classe 1: [25,30]: \;f_1=8, \;f_1/n=\dfrac{8}{35}\approx 0{,}2286, \;F_1=8, \;F_1/n\approx 0{,}2286, \;\bar{x}_1=\dfrac{25+30}{2}=27{,}5.
  • Classe 2: [31,36]: \;f_2=9, \;f_2/n=\dfrac{9}{35}\approx 0{,}2571, \;F_2=8+9=17, \;F_2/n\approx \dfrac{17}{35}\approx 0{,}4857, \;\bar{x}_2=\dfrac{31+36}{2}=33{,}5.
  • Classe 3: [37,42]: \;f_3=6, \;f_3/n=\dfrac{6}{35}\approx 0{,}1714, \;F_3=23, \;F_3/n\approx 0{,}6571, \;\bar{x}_3=\dfrac{37+42}{2}=39{,}5.
  • Classe 4: [43,48]: \;f_4=5, \;f_4/n=\dfrac{5}{35}\approx 0{,}1429, \;F_4=28, \;F_4/n\approx 0{,}8000, \;\bar{x}_4=\dfrac{43+48}{2}=45{,}5.
  • Classe 5: [49,54]: \;f_5=5, \;f_5/n=\dfrac{5}{35}\approx 0{,}1429, \;F_5=33, \;F_5/n\approx 0{,}9429, \;\bar{x}_5=\dfrac{49+54}{2}=51{,}5.
  • Classe 6: [55,60]: \;f_6=2, \;f_6/n=\dfrac{2}{35}\approx 0{,}0571, \;F_6=35, \;F_6/n=1{,}0000, \;\bar{x}_6=\dfrac{55+60}{2}=57{,}5.
(As frações decimais acima estão arredondadas para 4 casas decimais quando mostrado.)

Passo 4

Medidas de posição: média, mediana, moda e quartis. Vou ensinar as fórmulas e aplicar passo a passo usando os dados.
  1. Média amostral \bar{x}:
  • Fórmula (média aritmética): \displaystyle \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
  • Calculei a soma dos dados: \displaystyle \sum x_i =1364 (soma obtida somando todos os valores fornecidos).
  • Então \bar{x}=\dfrac{1364}{35}\approx 38{,}9714286 \approx 38{,}97\\ \text{ms}.Explicação curta: soma todos os tempos e divide pelo número de observações.
  1. Mediana \tilde{x} (posição central):
  • Para n ímpar, mediana é o elemento de ordem \dfrac{n+1}{2}.
  • Aqui \dfrac{35+1}{2}=18, então mediana é o 18-ésimo valor da lista ordenada.
  • Olhando a lista ordenada, o 18-ésimo valor é 37.
  • Logo \tilde{x}=37\\ \text{ms}.
  1. Moda:
  • Moda é o valor que mais se repete.
  • Observando os dados, 30 aparece 4 vezes (mais que qualquer outro valor).
  • Logo a moda é 30\\ \text{ms}.
  1. Quartis (método posicional simples):
  • Q_1 é a posição \dfrac{n+1}{4}=\dfrac{36}{4}=9\Rightarrow 9-ésimo valor \Rightarrow Q_1=31.
  • Q_2 é a mediana =37.
  • Q_3 é a posição \dfrac{3(n+1)}{4}=\dfrac{3\cdot36}{4}=27\Rightarrow 27-ésimo valor \Rightarrow Q_3=46.
  • Portanto Q_1=31, Q_2=37, Q_3=46 (em ms).

Passo 5

Respostas às perguntas (c) e (d) usando a ideia de percentil/posição:
(c) “58% das requisições têm tempo de resposta inferior ou igual a quanto?”
  • Para o percentil p=0{,}58 usa-se a posição L = p\,(n+1)=0{,}58\cdot36=20{,}88.
  • Isso indica o valor interpolado entre a 20-ésima e 21-ésima observação.
  • Observando os dados, x_{20}=40 e x_{21}=40, então o percentil é 40.
  • Logo 58\% das requisições têm tempo \le 40\\ \text{ms}.
(d) “25% das requisições têm tempo de resposta superior ou igual a quanto?”
  • "25% têm tempo superior ou igual a t" significa que os 25\% maiores começam no percentil p=0{,}75 (ou seja, o 75º percentil), porque a parte superior tem 25\%.
  • Posição L = 0{,}75\cdot (n+1)=0{,}75\cdot36=27. A 27-ésima observação é 46.
  • Logo 25\% das requisições têm tempo \ge 46\\ \text{ms}.

Passo 6

Medidas de dispersão: explico fórmulas e calculo passo a passo.
  1. Amplitude (range):
\text{amplitude} = \max - \min = 58 - 25 = 33\\ \text{ms}.
  1. Intervalo interquartílico (IQR):
\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 46 - 31 = 15\\ \text{ms}.
  1. Variância e desvio padrão.
  • Primeiro apresento a forma prática que usei: \text{Soma dos }x_i = \sum x_i = 1364, \qquad \text{Soma dos }x_i^2 = \sum x_i^2 = 55904.(essas somas foram obtidas somando os quadrados de cada observação; fiz agrupamento por classes para não errar.)
  • A soma dos quadrados permite calcular a variância numérica sem subtrair cada desvio individualmente, usando: S_{xx} = \sum x_i^2 - \dfrac{(\sum x_i)^2}{n}.Calculando: S_{xx} = 55904 - \dfrac{1364^2}{35} = 55904 - \dfrac{1\,860\,496}{35} = 2746{,}971428571429.
  • Variância populacional (se considerar os dados como a população inteira): \sigma^2 = \dfrac{S_{xx}}{n} = \dfrac{2746{,}971428571429}{35}\approx 78{,}485.
\sigma \approx \sqrt{78{,}485}\approx 8{,}86\\ \text{ms}.
  • Variância amostral (estimator não viesado, divisão por n-1): s^2 = \dfrac{S_{xx}}{n-1} = \dfrac{2746{,}971428571429}{34}\approx 80{,}7915.
s \approx \sqrt{80{,}7915}\approx 8{,}99\\ \text{ms}.
  1. Coeficiente de variação (CV), que é \dfrac{s}{\bar{x}} (em %):
\text{CV} = \dfrac{8{,}9884}{38{,}9714}\approx 0{,}2306 \Rightarrow 23{,}06\%.
Observação: usei s (desvio padrão amostral) para CV porque é a prática comum quando se trata de uma amostra.

Passo 7

Coeficiente de assimetria de Pearson e classificação (explico a versão usada e calculo):
  • Existem duas fórmulas de Pearson comumente usadas:
    • Pearson 1: \dfrac{\bar{x}-\text{moda}}{s}.
    • Pearson 2 (mais usado): \displaystyle \text{Sk} = \dfrac{3(\bar{x}-\tilde{x})}{s}, que mede a diferença entre média e mediana padronizada pelo desvio.
  • Vou usar a segunda (a mais comum): \displaystyle \text{Sk}=\dfrac{3(\bar{x}-\tilde{x})}{s}.
  • Substituindo os valores que calculamos: \bar{x}\approx 38{,}9714, \tilde{x}=37, s\approx 8{,}9884. \text{Sk} = \dfrac{3(38{,}9714286-37)}{8{,}9884} \approx \dfrac{3\cdot1{,}9714286}{8{,}9884} \approx 0{,}6578.
  • Interpretação: \text{Sk}\approx 0{,}66 (positivo) indica assimetria à direita (cauda direita). Quanto à intensidade, uma regra prática:
    • |\text{Sk}|<0{,}5 → quase simétrico;
    • 0{,}5\le |\text{Sk}|<1 → assimetria moderada;
    • |\text{Sk}|\ge 1 → assimetria forte.
  • Assim, \text{Sk}\approx 0{,}66 significa assimetria positiva moderada (há uma tendência de cauda à direita).

Resposta

a) Tabela de frequência por classes (classe : f_i, f_i/n, F_i, F_i/n, ponto médio):
[25,30] : 8,\; \dfrac{8}{35}\approx0{,}2286,\; 8,\;0{,}2286,\;27{,}5
[31,36] : 9,\; \dfrac{9}{35}\approx0{,}2571,\;17,\;0{,}4857,\;33{,}5
[37,42] : 6,\; \dfrac{6}{35}\approx0{,}1714,\;23,\;0{,}6571,\;39{,}5
[43,48] : 5,\; \dfrac{5}{35}\approx0{,}1429,\;28,\;0{,}8000,\;45{,}5
[49,54] : 5,\; \dfrac{5}{35}\approx0{,}1429,\;33,\;0{,}9429,\;51{,}5
[55,60] : 2,\; \dfrac{2}{35}\approx0{,}0571,\;35,\;1{,}0000,\;57{,}5
b) Medidas de posição:
  • \bar{x}\approx 38{,}97\\ \text{ms}
  • Mediana \tilde{x}=37\\ \text{ms}
  • Moda =30\\ \text{ms}
  • Q_1=31\\ \text{ms},\\ Q_2=37\\ \text{ms},\\ Q_3=46\\ \text{ms}
c) 58\% das requisições têm tempo de resposta \le 40\\ \text{ms}.
d) 25\% das requisições têm tempo de resposta \ge 46\\ \text{ms}.
e) Medidas de dispersão:
  • Amplitude (range) =33\\ \text{ms}
  • IQR =15\\ \text{ms}
  • Variância populacional \sigma^2\approx 78{,}485\\ \text{(ms)}^2, \sigma\approx 8{,}86\\ \text{ms}
  • Variância amostral s^2\approx 80{,}7915\\ \text{(ms)}^2, s\approx 8{,}99\\ \text{ms}
  • Coeficiente de variação \text{CV}\approx 23{,}06\%
f) Coeficiente de assimetria de Pearson (segunda forma):
\displaystyle \text{Sk}\approx 0{,}66 → assimetria positiva moderada (cauda à direita).

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