Um estudante realizou 6 medições do tempo de queda (em segundos) de uma esfera de aço de uma altura fixa. Os dados foram:
t=\left\{\begin{array}{llllll} 1,25 & 1,22 & 1,28 & 1,24 & 1,25 & 1,26 \end{array}\right\}
a) Calcular média, moda e mediana.
b) Calcular desvio padrāo, variância e coeficiente de variação de Pearson.

Passo 1

O enunciado dá as seis medições do tempo de queda (em segundos):
t=\{\,1,25,\;1,22,\;1,28,\;1,24,\;1,25,\;1,26\,\}.
O que é pedido:
  • (a) Calcular média, moda e mediana.
  • (b) Calcular desvio padrão, variância e coeficiente de variação de Pearson.
Vou trabalhar com essas seis medidas como uma amostra de tamanho n=6. Não vou pedir nada a mais — já tenho todos os dados necessários.

Passo 2

Cálculo da média (definição e procedimento).
  • Definição: a média aritmética de n observações t_1,\dots,t_n é
\bar t=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}t_i,
onde \bar t é o símbolo da média, n é o número de observações e t_i são os valores observados.
  • Aplicando aos dados:
\sum_{i=1}^{6}t_i=1,25+1,22+1,28+1,24+1,25+1,26=7,50.
\bar t=\frac{7,50}{6}=1,25\\ \text{s}.
Interpretação curta: a média dos tempos é \,1,25\\ \text{s}.

Passo 3

Cálculo da moda (definição e procedimento).
  • Definição: a moda é o valor que ocorre com maior frequência na amostra.
  • Observando os dados ordenados:
1,22,\;1,24,\;1,25,\;1,25,\;1,26,\;1,28,
o valor 1,25 aparece duas vezes; todos os outros aparecem uma vez. Logo a moda é
\text{moda}=1,25\\ \text{s}.

Passo 4

Cálculo da mediana (definição e procedimento).
  • Definição: para n par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais quando os dados estão ordenados.
  • Aqui n=6 (par). Os dois valores centrais (3.º e 4.º) na ordenação são 1,25 e 1,25. Portanto
\text{mediana}=\frac{1,25+1,25}{2}=1,25\\ \text{s}.
Observação: neste conjunto a média, a moda e a mediana coincidem em 1,25\\ \text{s}.

Passo 5

Preparação para variância e desvio padrão — cálculo das diferenças em relação à média e seus quadrados.
  • Definição das quantidades que vamos usar:
    • n é o tamanho da amostra ( n=6).
    • \bar t é a média calculada ( \bar t=1,25).
    • As diferenças (t_i-\bar t) medem o desvio de cada observação em relação à média.
    • Os quadrados (t_i-\bar t)^2 são usados para evitar cancelamento entre desvios positivos e negativos.
  • Calcular para cada observação (mostrando t_i-\bar t e (t_i-\bar t)^2):
    • Para t_1=1,25: t_1-\bar t=0,00, (t_1-\bar t)^2=0,0000.
    • Para t_2=1,22: t_2-\bar t=-0,03, (t_2-\bar t)^2=0,0009.
    • Para t_3=1,28: t_3-\bar t=+0,03, (t_3-\bar t)^2=0,0009.
    • Para t_4=1,24: t_4-\bar t=-0,01, (t_4-\bar t)^2=0,0001.
    • Para t_5=1,25: t_5-\bar t=0,00, (t_5-\bar t)^2=0,0000.
    • Para t_6=1,26: t_6-\bar t=+0,01, (t_6-\bar t)^2=0,0001.
  • Soma dos quadrados dos desvios:
\sum_{i=1}^{6}(t_i-\bar t)^2=0,0000+0,0009+0,0009+0,0001+0,0000+0,0001=0,0020.

Passo 6

Escolha do método para variância e desvio padrão (explicação).
  • Há duas fórmulas comuns:
    • Variância populacional (se os dados forem toda a população): \sigma^2=\dfrac{1}{n}\sum (t_i-\bar t)^2.
    • Variância amostral não viesada (usada quando os dados são uma amostra da população): s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum (t_i-\bar t)^2.
  • Como temos um conjunto de medições repetidas que normalmente representaria uma amostra experimental, vou usar a variância amostral (com divisor n-1) — é a prática padrão quando se quer um estimador não viesado da variância da população.

Passo 7

Cálculo da variância amostral s^2 e do desvio padrão amostral s.
  • Fórmulas:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(t_i-\bar t)^2, \qquad s=\sqrt{s^2}.
  • Aplicando os números:
s^2=\frac{0,0020}{6-1}=\frac{0,0020}{5}=0,0004\\ \text{s}^2.
s=\sqrt{0,0004}=0,02\\ \text{s}.
(Aqui s^2 está em unidades de \text{s}^2 e s em \text{s}.)

Passo 8

Cálculo do coeficiente de variação de Pearson.
  • Definição: o coeficiente de variação (CV) que o Pearson costuma usar é a razão entre o desvio padrão amostral e a média:
\text{CV}=\frac{s}{\bar t}.
  • Em porcentagem, multiplica-se por 100\%.
  • Aplicando os valores:
\text{CV}=\frac{0,02}{1,25}=0,016=1,6\%.
Interpretação rápida: um CV de 1,6\% indica variabilidade muito baixa relativa à média — as medições são bastante consistentes.

Resposta

(a) \bar t=1,25\\ \text{s}
(a) \text{moda}=1,25\\ \text{s}
(a) \text{mediana}=1,25\\ \text{s}
(b) \text{variância } s^{2}=0,0004\\ \text{s}^{2}â
(b) \text{desvio padrão } s=0,02\\ \text{s}ã
(b) \text{coeficiente de variação (Pearson)}=1,6\%çã

Exercícios relacionados