Um estudante realizou 6 medições do tempo de queda (em segundos) de uma esfera de aço de uma altura fixa. Os dados foram:
a) Calcular média, moda e mediana.
b) Calcular desvio padrāo, variância e coeficiente de variação de Pearson.
b) Calcular desvio padrāo, variância e coeficiente de variação de Pearson.
Passo 1
O enunciado dá as seis medições do tempo de queda (em segundos):
O que é pedido:
- (a) Calcular média, moda e mediana.
- (b) Calcular desvio padrão, variância e coeficiente de variação de Pearson.
Vou trabalhar com essas seis medidas como uma amostra de tamanho
. Não vou pedir nada a mais — já tenho todos os dados necessários.
Passo 2
Cálculo da média (definição e procedimento).
- Definição: a média aritmética de
observações é
onde
é o símbolo da média,
é o número de observações e
são os valores observados.
- Aplicando aos dados:
Interpretação curta: a média dos tempos é
.
Passo 3
Cálculo da moda (definição e procedimento).
- Definição: a moda é o valor que ocorre com maior frequência na amostra.
- Observando os dados ordenados:
o valor
aparece duas vezes; todos os outros aparecem uma vez. Logo a moda é
Passo 4
Cálculo da mediana (definição e procedimento).
- Definição: para
par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais quando os dados estão ordenados. - Aqui
(par). Os dois valores centrais (3.º e 4.º) na ordenação são e . Portanto
Observação: neste conjunto a média, a moda e a mediana coincidem em
.
Passo 5
Preparação para variância e desvio padrão — cálculo das diferenças em relação à média e seus quadrados.
- Definição das quantidades que vamos usar:
-
é o tamanho da amostra ( ). -
é a média calculada ( ). - As diferenças
medem o desvio de cada observação em relação à média. - Os quadrados
são usados para evitar cancelamento entre desvios positivos e negativos.
-
- Calcular para cada observação (mostrando
e ): - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , . - Para
: , .
- Para
- Soma dos quadrados dos desvios:
Passo 6
Escolha do método para variância e desvio padrão (explicação).
- Há duas fórmulas comuns:
- Variância populacional (se os dados forem toda a população):
. - Variância amostral não viesada (usada quando os dados são uma amostra da população):
.
- Variância populacional (se os dados forem toda a população):
- Como temos um conjunto de medições repetidas que normalmente representaria uma amostra experimental, vou usar a variância amostral (com divisor
) — é a prática padrão quando se quer um estimador não viesado da variância da população.
Passo 7
Cálculo da variância amostral
e do desvio padrão amostral
.
- Fórmulas:
- Aplicando os números:
(Aqui
está em unidades de
e
em
.)
Passo 8
Cálculo do coeficiente de variação de Pearson.
- Definição: o coeficiente de variação (CV) que o Pearson costuma usar é a razão entre o desvio padrão amostral e a média:
- Em porcentagem, multiplica-se por
. - Aplicando os valores:
Interpretação rápida: um CV de
indica variabilidade muito baixa relativa à média — as medições são bastante consistentes.
Resposta
(a)
(a)
(a)
(b)
(b)
(b)
(a)
(a)
(b)
(b)
(b)