Um engenheiro de materiais está testando a resistência à compressão de 40 amostras de concreto em laboratório. Os resultados, em megapascals (MPa), foram os seguintes:
,
, 27.6, 27.7, 27.8, 27.9, 28.0, 28.1, 28.2, 28.3, 28.4, 28.5
a) Com base nos dados fornecidos, realize as seguintes tarefas:
a.1) Identifique qual a variável do estudo;
a.2) Determine a amplitude total, número de classes e a amplitude do intervalo de cada classe;
a.3) Construa a tabela de distribuição de frequências com classes com as frequências simples (absoluta, relativa, relativa percentual) e as frequências acumuladas (absoluta, relativa, relativa percentual) e o ponto médio;
a.4) Histograma;
b) Responda às seguintes perguntas:
b.1) Qual é a classe com maior concentração de amostras?
b.2) Quantas amostras de concreto têm resistência entre 25.5 MPa e 27.4 MPa ?
b.3) Qual a porcentagem de amostras que têm resistência inferior a 26.5 MPa ?
a) Com base nos dados fornecidos, realize as seguintes tarefas:
a.1) Identifique qual a variável do estudo;
a.2) Determine a amplitude total, número de classes e a amplitude do intervalo de cada classe;
a.3) Construa a tabela de distribuição de frequências com classes com as frequências simples (absoluta, relativa, relativa percentual) e as frequências acumuladas (absoluta, relativa, relativa percentual) e o ponto médio;
a.4) Histograma;
b) Responda às seguintes perguntas:
b.1) Qual é a classe com maior concentração de amostras?
b.2) Quantas amostras de concreto têm resistência entre 25.5 MPa e 27.4 MPa ?
b.3) Qual a porcentagem de amostras que têm resistência inferior a 26.5 MPa ?
Passo 1
O enunciado pede várias coisas; vou listar com calma o que nos deram e o que é pedido (peguei os números diretamente do enunciado).
- Dados (as
observações de resistência em MPa):
- O que o enunciado pede (resumido):
a.1) Identificar a variável do estudo.
a.2) Determinar a amplitude total, o número de classes e a amplitude do intervalo de cada classe.
a.3) Construir a tabela de distribuição de frequências com: frequências simples (absoluta, relativa, relativa percentual), frequências acumuladas (absoluta, relativa, relativa percentual) e ponto médio de cada classe.
a.4) Fazer o histograma (descrever/mostrar como fica).
b.1) Indicar a classe com maior concentração de amostras.
b.2) Quantas amostras têm resistência entreMPa e MPa.
b.3) Qual a porcentagem de amostras com resistência inferior aMPa.
A partir daqui começo a resolução passo a passo.
Passo 2
Determinar amplitude total (intervalo total entre máximo e mínimo).
- O menor valor (mínimo) é
(peguei do primeiro número). - O maior valor (máximo) é
(peguei do último número).
A amplitude total (alcance) é dada por
Substituindo:
Explicação curta da fórmula: a amplitude total mede quanto “vai” o conjunto de dados — diferença entre maior e menor observação.
Passo 3
Escolher o número de classes e a amplitude de cada classe.
-
Uma regra clássica é a regra de Sturges:
, onde é o número de observações. Aqui . Calculo rápido:, então Arredondamos para um número inteiro prático:classes (escolha comum e prática para ). -
A amplitude do intervalo de cada classe
(largura) é aproximadamente Para formar classes com limites “bonitos” e manejáveis, arredondamospara (um arredondamento razoável com uma casa decimal). Isso cobre uma extensão total de que é ligeiramente maior que , garantindo que todos os dados caibam nas classes.
Comentário didático: é comum ajustar
para um número prático (0,5, 0,2, 0,7, 1,0, etc.). Aqui
mantém poucas classes e limites fáceis.
Passo 4
Definir os intervalos de classe (limites) usando
e iniciando no menor valor observado.
Vou tomar convenção: cada classe será do tipo
(inclui o limite inferior e exclui o superior), exceto a última que inclui o limite superior final para garantir que o maior valor caia nela. Começando em
:
- Classe 1:
porque . - Classe 2:
. - Classe 3:
. - Classe 4:
. - Classe 5:
. - Classe 6:
(última fechada em cima para incluir ).
Explicação: os pontos de fronteira são obtidos somando repetidamente
ao limite inferior inicial. A escolha da convenção
evita dupla contagem em pontos exatamente no limite superior; valores iguais ao limite superior vão para a próxima classe (exceto o último limite).
Passo 5
Contar as frequências absolutas (alocar cada observação à sua classe). Vou percorrer os dados na ordem e alocar conforme os limites definidos (quando um valor é exatamente igual ao limite superior de uma classe, ele vai para a próxima classe, por nossa convenção).
Alocação (peguei cada valor do enunciado):
- Valores em
: → observações. - Valores em
: → observações. - Valores em
: → observações. - Valores em
: → observações. - Valores em
: → observações. - Valores em
: → observações.
Verificação rápida:
(total confere com
).
Passo 6
Calcular as frequências relativas, percentuais, acumuladas e os pontos médios de cada classe.
- Frequência relativa de uma classe:
, onde é a frequência absoluta da classe e . - Frequência percentual:
. - Frequência acumulada absoluta: soma acumulada das frequências absolutas até aquela classe.
- Frequência acumulada relativa: soma acumulada das frequências relativas.
- Ponto médio da classe (ou marca de classe) é
, onde e são limites inferior e superior da classe.
Agora os cálculos (vou listar por classe):
Classe 1:
-
. -
. - Percentual
. - Frequência acumulada absoluta
. - Frequência acumulada relativa
(ou ). - Ponto médio
.
Classe 2:
-
. -
. - Percentual
. - Frequência acumulada absoluta
. - Frequência acumulada relativa
(ou ). - Ponto médio
.
Classe 3:
-
. -
. - Percentual
. - Frequência acumulada absoluta
. - Frequência acumulada relativa
(ou ). - Ponto médio
.
Classe 4:
-
. -
. - Percentual
. - Frequência acumulada absoluta
. - Frequência acumulada relativa
(ou ). - Ponto médio
.
Classe 5:
-
. -
. - Percentual
. - Frequência acumulada absoluta
. - Frequência acumulada relativa
(ou ). - Ponto médio
.
Classe 6:
-
. -
. - Percentual
. - Frequência acumulada absoluta
. - Frequência acumulada relativa
(ou ). - Ponto médio
.
Resumo tabular (cada linha = uma classe):
-
: , , , , , , . -
: , , , , , , . -
: , , , , , , . -
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: , , , , , , . -
: , , , , , , .
Passo 7
Construção do histograma (descrição e um esboço textual).
- Como as classes têm a mesma largura (
), o eixo horizontal representa os intervalos de resistência (em MPa) e o eixo vertical pode representar a frequência absoluta ou a densidade; aqui usamos a frequência absoluta porque as larguras são iguais e isso torna o histograma diretamente proporcional às contagens.
Instruções práticas para desenhar:
- Eixo
: marque os limites . - Eixo
: marcar de até (ou até ), pois a maior frequência é . - Para cada classe desenhar um retângulo sobre o intervalo da classe com altura igual à frequência absoluta
daquela classe.
Esboço textual (barras proporcionais às frequências; cada estrela ~ 1 observação):
Cada asterisco representa uma amostra; as alturas mostram visualmente que as classes 2–5 são as mais “cheias” (cada uma com
observações).]
Passo 8
Responder b.1, b.2 e b.3 usando os dados já tabulados (contagens explícitas).
b.1) Qual é a classe com maior concentração de amostras?
- Observando as frequências, as classes com maior frequência absoluta são as que têm
observações. São quatro classes empatadas:
.
Ou seja, há um empate entre essas quatro classes (cada uma comamostras).
b.2) Quantas amostras têm resistência entre
MPa e
MPa?
- Interpreto “entre
e ” como inclusivo em ambas as pontas (se precisar de interpretação estrita, avise, mas a prática usual é incluir os limites). Vou contar as observações com . - Na lista original, os valores de
até correspondem aos índices de a na ordenação dada (peguei os valores do enunciado): isso dá observações. - Confirmação por classes: parte das classes
, , e parte da classe contêm esses valores, e a soma apropriada dá . Portanto há amostras.
b.3) Qual a porcentagem de amostras com resistência inferior a
MPa?
- “Inferior a
MPa” interpretado estritamente como . (Se interpretasse como “menor ou igual”, o resultado seria outro; aqui uso estrito por conta do termo “inferior”.) - Contar observações
: na ordenação, os valores menores que vão até . Isso são os primeiros valores da lista (até inclusive). Logo a contagem é . - Porcentagem =
.
Resposta
a.1) Variável: resistência à compressão do concreto (em MPa).
a.2) Amplitude total MPa; número de classes
; amplitude do intervalo de cada classe
MPa.
a.3) Tabela (cada linha: intervalo
ponto médio):
a.4) Histograma: barras sobre os intervalos com alturas (frequências)
respectivamente (esboço textual no passo 7).
b.1) Classes com maior concentração: empate entre (cada uma com
amostras).
b.2) Quantidade entre MPa e
MPa (inclusivo):
amostras.
b.3) Porcentagem com resistência inferior a MPa:
.
a.2) Amplitude total
a.3) Tabela (cada linha: intervalo
a.4) Histograma: barras sobre os intervalos
b.1) Classes com maior concentração: empate entre
b.2) Quantidade entre
b.3) Porcentagem com resistência inferior a