Um engenheiro de materiais está testando a resistência à compressão de 40 amostras de concreto em laboratório. Os resultados, em megapascals (MPa), foram os seguintes:
24.5,24.7,24.8,24.9,25.0,25.1,25.2,25.3,25.4,25.5,25.6,25.7,25.8,25.9,26.0, 26.1,26.2,26.3,26.4,26.5,26.6,26.7,26.8,26.9,27.0,27.1,27.2,27.3,27.4,27.5, 27.6, 27.7, 27.8, 27.9, 28.0, 28.1, 28.2, 28.3, 28.4, 28.5
a) Com base nos dados fornecidos, realize as seguintes tarefas:
a.1) Identifique qual a variável do estudo;
a.2) Determine a amplitude total, número de classes e a amplitude do intervalo de cada classe;
a.3) Construa a tabela de distribuição de frequências com classes com as frequências simples (absoluta, relativa, relativa percentual) e as frequências acumuladas (absoluta, relativa, relativa percentual) e o ponto médio;
a.4) Histograma;
b) Responda às seguintes perguntas:
b.1) Qual é a classe com maior concentração de amostras?
b.2) Quantas amostras de concreto têm resistência entre 25.5 MPa e 27.4 MPa ?
b.3) Qual a porcentagem de amostras que têm resistência inferior a 26.5 MPa ?

Passo 1

O enunciado pede várias coisas; vou listar com calma o que nos deram e o que é pedido (peguei os números diretamente do enunciado).
  • Dados (as 40 observações de resistência em MPa): 24,5,\;24,7,\;24,8,\;24,9,\;25,0,\;25,1,\;25,2,\;25,3,\;25,4,\;25,5,
25,6,\;25,7,\;25,8,\;25,9,\;26,0,\;26,1,\;26,2,\;26,3,\;26,4,\;26,5,
26,6,\;26,7,\;26,8,\;26,9,\;27,0,\;27,1,\;27,2,\;27,3,\;27,4,\;27,5,
27,6,\;27,7,\;27,8,\;27,9,\;28,0,\;28,1,\;28,2,\;28,3,\;28,4,\;28,5.
  • O que o enunciado pede (resumido):
    a.1) Identificar a variável do estudo.
    a.2) Determinar a amplitude total, o número de classes e a amplitude do intervalo de cada classe.
    a.3) Construir a tabela de distribuição de frequências com: frequências simples (absoluta, relativa, relativa percentual), frequências acumuladas (absoluta, relativa, relativa percentual) e ponto médio de cada classe.
    a.4) Fazer o histograma (descrever/mostrar como fica).
    b.1) Indicar a classe com maior concentração de amostras.
    b.2) Quantas amostras têm resistência entre 25,5 MPa e 27,4 MPa.
    b.3) Qual a porcentagem de amostras com resistência inferior a 26,5 MPa.
A partir daqui começo a resolução passo a passo.

Passo 2

Determinar amplitude total (intervalo total entre máximo e mínimo).
  • O menor valor (mínimo) é \min = 24,5 (peguei do primeiro número).
  • O maior valor (máximo) é \max = 28,5 (peguei do último número).
A amplitude total (alcance) é dada por
\text{Amplitude total} = \max - \min.
Substituindo:
\text{Amplitude total} = 28,5 - 24,5 = 4,0\\ \text{(MPa)}.
Explicação curta da fórmula: a amplitude total mede quanto “vai” o conjunto de dados — diferença entre maior e menor observação.

Passo 3

Escolher o número de classes e a amplitude de cada classe.
  • Uma regra clássica é a regra de Sturges: \displaystyle k \approx 1 + 3{,}322\log_{10} n, onde n é o número de observações. Aqui n=40.
    k \approx 1 + 3{,}322\log_{10}40.
    Calculo rápido: \log_{10}40 \approx 1{,}60206, então
    k \approx 1 + 3{,}322\cdot1{,}60206 \approx 6{,}32.
    Arredondamos para um número inteiro prático: k=6 classes (escolha comum e prática para n=40).
  • A amplitude do intervalo de cada classe h (largura) é aproximadamente
    h \approx \frac{\text{Amplitude total}}{k} = \frac{4{,}0}{6}\approx 0{,}666\ldots
    Para formar classes com limites “bonitos” e manejáveis, arredondamos h para 0{,}7 (um arredondamento razoável com uma casa decimal). Isso cobre uma extensão total de 6\times0{,}7=4{,}2 que é ligeiramente maior que 4{,}0, garantindo que todos os dados caibam nas classes.
Comentário didático: é comum ajustar h para um número prático (0,5, 0,2, 0,7, 1,0, etc.). Aqui 0{,}7 mantém poucas classes e limites fáceis.

Passo 4

Definir os intervalos de classe (limites) usando h=0{,}7 e iniciando no menor valor observado.
Vou tomar convenção: cada classe será do tipo [a,b) (inclui o limite inferior e exclui o superior), exceto a última que inclui o limite superior final para garantir que o maior valor caia nela. Começando em 24,5:
  • Classe 1: [24,5;\,25,2) porque 24,5 + 0,7 = 25,2.
  • Classe 2: [25,2;\,25,9).
  • Classe 3: [25,9;\,26,6).
  • Classe 4: [26,6;\,27,3).
  • Classe 5: [27,3;\,28,0).
  • Classe 6: [28,0;\,28,7] (última fechada em cima para incluir 28,5).
Explicação: os pontos de fronteira são obtidos somando repetidamente 0{,}7 ao limite inferior inicial. A escolha da convenção [\,;\,) evita dupla contagem em pontos exatamente no limite superior; valores iguais ao limite superior vão para a próxima classe (exceto o último limite).

Passo 5

Contar as frequências absolutas (alocar cada observação à sua classe). Vou percorrer os dados na ordem e alocar conforme os limites definidos (quando um valor é exatamente igual ao limite superior de uma classe, ele vai para a próxima classe, por nossa convenção).
Alocação (peguei cada valor do enunciado):
  • Valores em [24,5;\,25,2): \,24,5,\;24,7,\;24,8,\;24,9,\;25,0,\;25,1 6 observações.
  • Valores em [25,2;\,25,9): \,25,2,\;25,3,\;25,4,\;25,5,\;25,6,\;25,7,\;25,8 7 observações.
  • Valores em [25,9;\,26,6): \,25,9,\;26,0,\;26,1,\;26,2,\;26,3,\;26,4,\;26,5 7 observações.
  • Valores em [26,6;\,27,3): \,26,6,\;26,7,\;26,8,\;26,9,\;27,0,\;27,1,\;27,2 7 observações.
  • Valores em [27,3;\,28,0): \,27,3,\;27,4,\;27,5,\;27,6,\;27,7,\;27,8,\;27,9 7 observações.
  • Valores em [28,0;\,28,7]: \,28,0,\;28,1,\;28,2,\;28,3,\;28,4,\;28,5 6 observações.
Verificação rápida: 6+7+7+7+7+6=40 (total confere com n=40).

Passo 6

Calcular as frequências relativas, percentuais, acumuladas e os pontos médios de cada classe.
  • Frequência relativa de uma classe: \displaystyle f_r=\frac{f}{n}, onde f é a frequência absoluta da classe e n=40.
  • Frequência percentual: 100\cdot f_r.
  • Frequência acumulada absoluta: soma acumulada das frequências absolutas até aquela classe.
  • Frequência acumulada relativa: soma acumulada das frequências relativas.
  • Ponto médio da classe (ou marca de classe) é \displaystyle m=\frac{L_i+U_i}{2}, onde L_i e U_i são limites inferior e superior da classe.
Agora os cálculos (vou listar por classe):
Classe 1: [24,5;\,25,2)
  • f=6.
  • f_r=\dfrac{6}{40}=0{,}15.
  • Percentual =15{,}0\%.
  • Frequência acumulada absoluta =6.
  • Frequência acumulada relativa =0{,}15 (ou 15{,}0\%).
  • Ponto médio m=\dfrac{24,5+25,2}{2}=24,85.
Classe 2: [25,2;\,25,9)
  • f=7.
  • f_r=\dfrac{7}{40}=0{,}175.
  • Percentual =17{,}5\%.
  • Frequência acumulada absoluta =6+7=13.
  • Frequência acumulada relativa =0{,}15+0{,}175=0{,}325 (ou 32{,}5\%).
  • Ponto médio m=\dfrac{25,2+25,9}{2}=25,55.
Classe 3: [25,9;\,26,6)
  • f=7.
  • f_r=0{,}175.
  • Percentual =17{,}5\%.
  • Frequência acumulada absoluta =13+7=20.
  • Frequência acumulada relativa =0{,}325+0{,}175=0{,}5 (ou 50{,}0\%).
  • Ponto médio m=\dfrac{25,9+26,6}{2}=26,25.
Classe 4: [26,6;\,27,3)
  • f=7.
  • f_r=0{,}175.
  • Percentual =17{,}5\%.
  • Frequência acumulada absoluta =20+7=27.
  • Frequência acumulada relativa =0{,}5+0{,}175=0{,}675 (ou 67{,}5\%).
  • Ponto médio m=\dfrac{26,6+27,3}{2}=26,95.
Classe 5: [27,3;\,28,0)
  • f=7.
  • f_r=0{,}175.
  • Percentual =17{,}5\%.
  • Frequência acumulada absoluta =27+7=34.
  • Frequência acumulada relativa =0{,}675+0{,}175=0{,}85 (ou 85{,}0\%).
  • Ponto médio m=\dfrac{27,3+28,0}{2}=27,65.
Classe 6: [28,0;\,28,7]
  • f=6.
  • f_r=\dfrac{6}{40}=0{,}15.
  • Percentual =15{,}0\%.
  • Frequência acumulada absoluta =34+6=40.
  • Frequência acumulada relativa =0{,}85+0{,}15=1{,}0 (ou 100{,}0\%).
  • Ponto médio m=\dfrac{28,0+28,7}{2}=28,35.
Resumo tabular (cada linha = uma classe):
  • [24,5;\,25,2): f=6, f_r=0{,}15, \%\!=15{,}0\%, F=6, F_r=0{,}15, F\%\!=15{,}0\%, m=24,85.
  • [25,2;\,25,9): f=7, f_r=0{,}175, \%\!=17{,}5\%, F=13, F_r=0{,}325, F\%\!=32{,}5\%, m=25,55.
  • [25,9;\,26,6): f=7, f_r=0{,}175, \%\!=17{,}5\%, F=20, F_r=0{,}5, F\%\!=50{,}0\%, m=26,25.
  • [26,6;\,27,3): f=7, f_r=0{,}175, \%\!=17{,}5\%, F=27, F_r=0{,}675, F\%\!=67{,}5\%, m=26,95.
  • [27,3;\,28,0): f=7, f_r=0{,}175, \%\!=17{,}5\%, F=34, F_r=0{,}85, F\%\!=85{,}0\%, m=27,65.
  • [28,0;\,28,7]: f=6, f_r=0{,}15, \%\!=15{,}0\%, F=40, F_r=1{,}0, F\%\!=100{,}0\%, m=28,35.

Passo 7

Construção do histograma (descrição e um esboço textual).
  • Como as classes têm a mesma largura ( h=0{,}7), o eixo horizontal representa os intervalos de resistência (em MPa) e o eixo vertical pode representar a frequência absoluta f ou a densidade; aqui usamos a frequência absoluta porque as larguras são iguais e isso torna o histograma diretamente proporcional às contagens.
Instruções práticas para desenhar:
  1. Eixo x: marque os limites 24{,}5,\;25{,}2,\;25{,}9,\;26{,}6,\;27{,}3,\;28{,}0,\;28{,}7.
  2. Eixo y: marcar de 0 até 8 (ou 0 até 10), pois a maior frequência é 7.
  3. Para cada classe desenhar um retângulo sobre o intervalo da classe com altura igual à frequência absoluta f daquela classe.
Esboço textual (barras proporcionais às frequências; cada estrela ~ 1 observação):
\begin{array}{l} [24{,}5,25{,}2):\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ ****** \\[2pt] [25{,}2,25{,}9):\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ ******* \\[2pt] [25{,}9,26{,}6):\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ ******* \\[2pt] [26{,}6,27{,}3):\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ ******* \\[2pt] [27{,}3,28{,}0):\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ ******* \\[2pt] [28{,}0,28{,}7]:\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ ****** \end{array}
Cada asterisco representa uma amostra; as alturas mostram visualmente que as classes 2–5 são as mais “cheias” (cada uma com 7 observações).]

Passo 8

Responder b.1, b.2 e b.3 usando os dados já tabulados (contagens explícitas).
b.1) Qual é a classe com maior concentração de amostras?
  • Observando as frequências, as classes com maior frequência absoluta são as que têm 7 observações. São quatro classes empatadas:
    [25,2;\,25,9),\;[25,9;\,26,6),\;[26,6;\,27,3),\;[27,3;\,28,0).
    Ou seja, há um empate entre essas quatro classes (cada uma com 7 amostras).
b.2) Quantas amostras têm resistência entre 25,5 MPa e 27,4 MPa?
  • Interpreto “entre 25,5 e 27,4” como inclusivo em ambas as pontas (se precisar de interpretação estrita, avise, mas a prática usual é incluir os limites). Vou contar as observações com 25,5 \le x \le 27,4.
  • Na lista original, os valores de 25,5 até 27,4 correspondem aos índices de 10 a 29 na ordenação dada (peguei os valores do enunciado): isso dá 29-10+1=20 observações.
  • Confirmação por classes: parte das classes [25,2;25,9), [25,9;26,6), [26,6;27,3) e parte da classe [27,3;28,0) contêm esses valores, e a soma apropriada dá 20. Portanto há 20 amostras.
b.3) Qual a porcentagem de amostras com resistência inferior a 26,5 MPa?
  • “Inferior a 26,5 MPa” interpretado estritamente como x<26,5. (Se interpretasse como “menor ou igual”, o resultado seria outro; aqui uso estrito por conta do termo “inferior”.)
  • Contar observações x<26,5: na ordenação, os valores menores que 26,5 vão até 26,4. Isso são os primeiros 19 valores da lista (até 26,4 inclusive). Logo a contagem é 19.
  • Porcentagem = \dfrac{19}{40}\times100\% = 47{,}5\%.

Resposta

a.1) Variável: resistência à compressão do concreto (em MPa).
a.2) Amplitude total =4{,}0 MPa; número de classes =6; amplitude do intervalo de cada classe h=0{,}7 MPa.
a.3) Tabela (cada linha: intervalo \mid f \mid f_r \mid % \mid F \mid F_r \mid F\% \mid ponto médio):
[24,5;25,2)\\ \mid\\\ 6\\ \mid\\\ 0{,}15\\ \mid\\\ 15{,}0\%\\ \mid\\\ 6\\ \mid\\\ 0{,}15\\ \mid\\\ 15{,}0\%\\ \mid\\ m=24,85
[25,2;25,9)\\ \mid\\\ 7\\ \mid\\\ 0{,}175\\ \mid\\\ 17{,}5\%\\ \mid\\\ 13\\ \mid\\\ 0{,}325\\ \mid\\\ 32{,}5\%\\ \mid\\ m=25,55
[25,9;26,6)\\ \mid\\\ 7\\ \mid\\\ 0{,}175\\ \mid\\\ 17{,}5\%\\ \mid\\\ 20\\ \mid\\\ 0{,}50\\ \mid\\\ 50{,}0\%\\ \mid\\ m=26,25
[26,6;27,3)\\ \mid\\\ 7\\ \mid\\\ 0{,}175\\ \mid\\\ 17{,}5\%\\ \mid\\\ 27\\ \mid\\\ 0{,}675\\ \mid\\\ 67{,}5\%\\ \mid\\ m=26,95
[27,3;28,0)\\ \mid\\\ 7\\ \mid\\\ 0{,}175\\ \mid\\\ 17{,}5\%\\ \mid\\\ 34\\ \mid\\\ 0{,}85\\ \mid\\\ 85{,}0\%\\ \mid\\ m=27,65
[28,0;28,7]\\ \mid\\\ 6\\ \mid\\\ 0{,}15\\ \mid\\\ 15{,}0\%\\ \mid\\\ 40\\ \mid\\\ 1{,}0\\ \mid\\\ 100{,}0\%\\ \mid\\ m=28,35
a.4) Histograma: barras sobre os intervalos [24,5;25,2),[25,2;25,9),\dots,[28,0;28,7] com alturas (frequências) 6,7,7,7,7,6 respectivamente (esboço textual no passo 7).
b.1) Classes com maior concentração: empate entre [25,2;25,9),[25,9;26,6),[26,6;27,3),[27,3;28,0) (cada uma com 7 amostras).
b.2) Quantidade entre 25,5 MPa e 27,4 MPa (inclusivo): 20 amostras.
b.3) Porcentagem com resistência inferior a 26,5 MPa: 47{,}5\%.

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