Um engenheiro eletricista está projetando um novo chip e precisa calcular a área da superfície que será ocupada por um circuito específico. Essa área é delimitada pelas funções y=-x^{2}+4 x e y=x^{2}-2 x no primeiro quadrante. Qual a área exata que o circuito ocupará? R : 9 u.a.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas -x^{2}+4x e x^{2}-2x no primeiro quadrante. O conteúdo principal aqui é o cálculo de área entre duas funções, que se obtém integrando a diferença entre a curva superior e a curva inferior no intervalo definido pelas suas abscissas de interseção.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos
-x^{2}+4x \;=\; x^{2}-2x
que dá
-2x^{2}+6x=0 \quad\Longrightarrow\quad x\bigl(-2x+6\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=3.

Passo 3

Precisamos saber qual função está acima entre x=0 e x=3. Calculamos
(-x^{2}+4x)\;-\;(x^{2}-2x) \;=\;-2x^{2}+6x \;=\;2x(3-x),
que é não negativo em 0\le x\le3. Logo,
-x^{2}+4x é a curva superior e x^{2}-2x a inferior nesse intervalo.

Passo 4

A área procurada é
A \;=\;\int_{0}^{3}\Bigl[\bigl(-x^{2}+4x\bigr)\;-\;\bigl(x^{2}-2x\bigr)\Bigr]\,dx \;=\;\int_{0}^{3}\bigl(-2x^{2}+6x\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculando a integral:
\int\bigl(-2x^{2}+6x\bigr)\,dx =\,-\tfrac{2}{3}x^{3}+3x^{2},
então
A =\Bigl[-\tfrac{2}{3}x^{3}+3x^{2}\Bigr]_{0}^{3} =\Bigl(-\tfrac{2}{3}\cdot27+3\cdot9\Bigr)-0 =(-18+27)=9.

Resposta

9 u.a.

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