Um engenheiro de processos precisa determinar a temperatura média de um forno industrial durante um ciclo de produção de 8 horas. A temperatura do forno é dada pela função T(t)=100+20 \operatorname{sen}\left(\frac{\pi t}{4}\right), onde T está em graus Celsius e t em horas. Qual a temperatura média do forno durante esse período? R: 100^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado nos dá a temperatura do forno em função do tempo:
T(t) = 100 + 20 \operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\pi t}{4}\Bigr),
com t variando de 0 a 8 horas, e pede a temperatura média nesse intervalo. O conteúdo envolvido é o valor médio de uma função contínua em um intervalo, calculado por meio de integração.

Passo 2

A definição de valor médio \overline{T} de uma função T(t) no intervalo [a,b] é
\overline{T} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} T(t)\,\mathrm{d}t.
Aqui temos a = 0, b = 8, logo
\overline{T} = \frac{1}{8} \int_{0}^{8} \Bigl(100 + 20 \operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi t}{4}\bigr)\Bigr)\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes:
\int_{0}^{8} \Bigl(100 + 20 \operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi t}{4}\bigr)\Bigr)\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{8} 100 \,\mathrm{d}t \;+\; 20 \int_{0}^{8} \operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi t}{4}\bigr)\,\mathrm{d}t.
A primeira parte é imediata:
\int_{0}^{8} 100 \,\mathrm{d}t = 100 \times 8 = 800.

Passo 4

Para a segunda parte, faça a substituição u = \tfrac{\pi t}{4}, de modo que \mathrm{d}u = \tfrac{\pi}{4}\,\mathrm{d}t e \mathrm{d}t = \tfrac{4}{\pi}\,\mathrm{d}u. Quando t=0, u=0; quando t=8, u=2\pi. Assim,
\int_{0}^{8} \operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi t}{4}\bigr)\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{2\pi} \operatorname{sen}(u)\,\frac{4}{\pi}\,\mathrm{d}u = \frac{4}{\pi} \bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{4}{\pi}\bigl(-\cos(2\pi)+\cos(0)\bigr) = 0.

Passo 5

Com isso,
\int_{0}^{8} T(t)\,\mathrm{d}t = 800 + 20 \times 0 = 800
e o valor médio fica
\overline{T} = \frac{1}{8} \times 800 = 100.

Resposta

A temperatura média do forno durante o ciclo de 8 horas é 100^\circ\mathrm{C}.

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