Um engenheiro de estruturas está analisando a distribuição de tensão em uma viga. A função que descreve a tensão em um determinado ponto da viga é T(x)=6 x-x^{2}, onde x é a distância da extremidade da viga em metros e T é a tensão em Pascal. Qual a tensão total acumulada na viga no intervalo [0,4] metros? R : 80/3 Pascal

Passo 1

O enunciado nos dá a função de distribuição de tensão ao longo da viga
T(x) = 6x - x^2,
com x variando de 0 a 4 metros, e pede a tensão total acumulada nesse trecho. Para isso vamos usar o conceito de integral definida, que nos dá a “soma contínua” (área sob a curva) de T(x) de 0 a 4.

Passo 2

Escrevemos a tensão total acumulada como a integral definida de T(x) no intervalo [0,4]:
\text{Tensão total} = \int_{0}^{4} \bigl(6x - x^2\bigr)\,dx.ã

Passo 3

Calculamos a antiderivada de 6x - x^2. Sabemos que
\int 6x\,dx = 3x^2,
\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}.
Logo uma primitiva de T(x) é
F(x) = 3x^2 - \frac{x^3}{3}.

Passo 4

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo avaliando F em 4 e em 0:
\int_{0}^{4} \bigl(6x - x^2\bigr)\,dx = F(4) - F(0) = \Bigl(3\cdot4^2 - \tfrac{4^3}{3}\Bigr) - \Bigl(3\cdot0^2 - \tfrac{0^3}{3}\Bigr) = \bigl(48 - \tfrac{64}{3}\bigr) - 0 = \frac{144 - 64}{3} = \frac{80}{3}.

Resposta

A tensão total acumulada na viga no intervalo [0,4] metros é \tfrac{80}{3} Pascal.

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