Um engenheiro elétrico testa um lote de 10 transistores e sabe que a probabilidade de um transistor ser defeituoso é de 0,1 .
(a) Qual é a probabilidade de que exatamente 3 transistores sejam defeituosos?
(b) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de transistores defeituosos nesse lote. Interprete os resultados no contexto.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo tirado do problema):
  • Tamanho do lote: n=10 transistores.
  • Probabilidade de um transistor ser defeituoso: p=0,1.
  • Pergunta (a): qual a probabilidade de que exatamente 3 transistores sejam defeituosos?
  • Pergunta (b): calcular o valor esperado e o desvio padrão do número de transistores defeituosos nesse lote e interpretar esses resultados no contexto.

Passo 2

Que modelo usar e por quê (explicação didática e simples):
  • Temos n ensaios independentes (cada transistor testado), cada ensaio tem dois resultados possíveis: “defeituoso” ou “não defeituoso”.
  • A probabilidade de “sucesso” (aqui, “ser defeituoso”) é constante igual a p em cada ensaio.
  • Esse cenário é exatamente o caso da distribuição binomial. Então o número de transistores defeituosos X segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p, que escrevemos X\sim\mathrm{Bin}(n,p).

Passo 3

Fórmula da binomial e explicação das partes:
  • A probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos em n ensaios é dada por
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
  • Aqui:
    • \binom{n}{k} é o número de maneiras distintas de escolher quais k ensaios deram sucesso (a chamada combinação).
    • p^{k} é a probabilidade de obter k sucessos específicos.
    • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de obter os n-k fracassos restantes.
  • No nosso caso para (a) vamos usar n=10, k=3, p=0,1.

Passo 4

Calcular a combinação \binom{10}{3} passo a passo:
\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\,7!}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}= \frac{720}{6}=120.
Expliquei aqui o cancelamento das fatoriais para obter um número que conta as escolhas possíveis de quais 3 transistores (entre 10) são os defeituosos.

Passo 5

Calcular a probabilidade pedida em (a) com números:
  • Primeiro as potências: p^{3}=(0,1)^{3}=0,001, \qquad (1-p)^{7}=(0,9)^{7}=0,4782969.
  • Agora aplicar a fórmula: P(X=3)=\binom{10}{3}\,p^{3}\,(1-p)^{7}=120\cdot0,001\cdot0,4782969.
  • Fazer a multiplicação: 120\cdot0,001=0,12, \qquad 0,12\cdot0,4782969=0,057395628.
  • Arredondando para um número prático: P(X=3)\approx0,0574, ou seja cerca de 5,74\%.

Passo 6

Fórmulas para valor esperado e variância (e por consequência desvio padrão) da binomial — explicação e significado:
  • Para X\sim\mathrm{Bin}(n,p) valem as fórmulas padrão: \mathbb{E}[X]=n p, \qquad \mathrm{Var}(X)=n p(1-p).
  • Interpretação das fórmulas:
    • \mathbb{E}[X] é a média (valor esperado): é o número médio de defeituosos que se espera em muitos lotes de tamanho n.
    • \mathrm{Var}(X) mede a variabilidade; o desvio padrão \sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)} dá uma medida em unidades de número de transistores para saber o quão típico é se afastar da média.

Passo 7

Calcular \mathbb{E}[X] e o desvio padrão no nosso caso e interpretar:
  • Usando n=10 e p=0,1: \mathbb{E}[X]=n p=10\cdot0,1=1.Isso significa: em média, espera-se 1 transistor defeituoso por lote de 10.
  • Variância e desvio padrão: \mathrm{Var}(X)=n p(1-p)=10\cdot0,1\cdot0,9=0,9,
\sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=\sqrt{0,9}\approx0,948683298\approx0,949.
Interpretação: o desvio padrão de aproximadamente 0,95 indica que o número de defeituosos normalmente oscila cerca de uma unidade em torno da média 1. Ou seja, é comum ver 0, 1 ou 2 defeituosos; ver 3 defeituosos é menos provável (como vimos, ~ 5,74\%).

Resposta

(a) P(X=3)=0,057395628\approx0,0574 (ou 5,74\%)
(b) \mathbb{E}[X]=1, \sigma_X=\sqrt{0,9}\approx0,949

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