Um engenheiro elétrico testa um lote de 10 transistores e sabe que a probabilidade de um transistor ser defeituoso é de 0,1 .
(a) Qual é a probabilidade de que exatamente 3 transistores sejam defeituosos?
(b) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de transistores defeituosos nesse lote. Interprete os resultados no contexto.
(a) Qual é a probabilidade de que exatamente 3 transistores sejam defeituosos?
(b) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de transistores defeituosos nesse lote. Interprete os resultados no contexto.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo tirado do problema):
- Tamanho do lote:
transistores. - Probabilidade de um transistor ser defeituoso:
. - Pergunta (a): qual a probabilidade de que exatamente 3 transistores sejam defeituosos?
- Pergunta (b): calcular o valor esperado e o desvio padrão do número de transistores defeituosos nesse lote e interpretar esses resultados no contexto.
Passo 2
Que modelo usar e por quê (explicação didática e simples):
- Temos
ensaios independentes (cada transistor testado), cada ensaio tem dois resultados possíveis: “defeituoso” ou “não defeituoso”. - A probabilidade de “sucesso” (aqui, “ser defeituoso”) é constante igual a
em cada ensaio. - Esse cenário é exatamente o caso da distribuição binomial. Então o número de transistores defeituosos
segue uma distribuição binomial com parâmetros e , que escrevemos .
Passo 3
Fórmula da binomial e explicação das partes:
- A probabilidade de ocorrer exatamente
sucessos em ensaios é dada por
- Aqui:
-
é o número de maneiras distintas de escolher quais ensaios deram sucesso (a chamada combinação). -
é a probabilidade de obter sucessos específicos. -
é a probabilidade de obter os fracassos restantes.
-
- No nosso caso para (a) vamos usar
, , .
Passo 4
Calcular a combinação
passo a passo:
Expliquei aqui o cancelamento das fatoriais para obter um número que conta as escolhas possíveis de quais 3 transistores (entre 10) são os defeituosos.
Passo 5
Calcular a probabilidade pedida em (a) com números:
- Primeiro as potências:
- Agora aplicar a fórmula:
- Fazer a multiplicação:
- Arredondando para um número prático:
, ou seja cerca de .
Passo 6
Fórmulas para valor esperado e variância (e por consequência desvio padrão) da binomial — explicação e significado:
- Para
valem as fórmulas padrão: - Interpretação das fórmulas:
-
é a média (valor esperado): é o número médio de defeituosos que se espera em muitos lotes de tamanho . -
mede a variabilidade; o desvio padrão dá uma medida em unidades de número de transistores para saber o quão típico é se afastar da média.
-
Passo 7
Calcular
e o desvio padrão no nosso caso e interpretar:
- Usando
e : Isso significa: em média, espera-se transistor defeituoso por lote de . - Variância e desvio padrão:
Interpretação: o desvio padrão de aproximadamente
indica que o número de defeituosos normalmente oscila cerca de uma unidade em torno da média
. Ou seja, é comum ver 0, 1 ou 2 defeituosos; ver 3 defeituosos é menos provável (como vimos, ~
).
Resposta
(a)
(ou
)
(b) ,
(b)