Um sensor industrial registra leituras defeituosas com probabilidade de 0,15 . Suponha que 12 leituras foram registradas.
Qual é a probabilidade de que nenhuma leitura seja defeituosa?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A probabilidade de uma leitura ser defeituosa é p = 0,15.
  • O número de leituras registradas é n = 12.
    O que o problema pede:
  • Calcular a probabilidade de que nenhuma das 12 leituras seja defeituosa (ou seja, zero leituras defeituosas).

Passo 2

Modelo apropriado e porquê (explicação didática):
  • Cada leitura pode ser vista como um ensaio com dois resultados possíveis: “defeituosa” (sucesso, com probabilidade p) ou “não defeituosa” (falha, com probabilidade 1-p).
  • Se assumimos que as leituras são independentes e a probabilidade de defeito é constante em cada leitura (isso é padrão nesse tipo de problema), então o número de leituras defeituosas entre n leituras segue uma distribuição binomial.
  • Definimos a variável aleatória X como o número de leituras defeituosas em n ensaios. Para uma distribuição binomial com parâmetros n e p, a fórmula da função de massa de probabilidade é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o número de formas de escolher k leituras defeituosas entre n,
  • p^{k} é a probabilidade de exatamente k leituras serem defeituosas,
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade das n-k restantes serem não defeituosas.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso pedido:
  • Queremos a probabilidade de nenhuma leitura defeituosa, ou seja k=0.
  • Substituindo n=12, p=0,15 e k=0 na fórmula:
P(X=0)=\binom{12}{0}\,0,15^{0}\,(1-0,15)^{12}.
  • Observações úteis:
    • \binom{12}{0}=1.
    • 0,15^{0}=1.
    • 1-0,15=0,85.
  • Portanto a expressão simplifica para:
P(X=0)=0,85^{12}.

Passo 4

Cálculo numérico de 0,85^{12} passo a passo (multiplicando por 0,85 a cada potência):
\begin{aligned} 0,85^{1} &= 0,85,\\[4pt] 0,85^{2} &= 0,85\cdot0,85 = 0,7225,\\[4pt] 0,85^{3} &= 0,7225\cdot0,85 = 0,614125,\\[4pt] 0,85^{4} &= 0,614125\cdot0,85 = 0,52200625,\\[4pt] 0,85^{5} &= 0,52200625\cdot0,85 = 0,4437053125,\\[4pt] 0,85^{6} &= 0,4437053125\cdot0,85 = 0,377149515625,\\[4pt] 0,85^{7} &= 0,377149515625\cdot0,85 = 0,32057708828125,\\[4pt] 0,85^{8} &= 0,32057708828125\cdot0,85 = 0,2724905250390625,\\[4pt] 0,85^{9} &= 0,2724905250390625\cdot0,85 = 0,23161694628320312,\\[4pt] 0,85^{10} &= 0,23161694628320312\cdot0,85 = 0,19687440434072266,\\[4pt] 0,85^{11} &= 0,19687440434072266\cdot0,85 = 0,16734324368961426,\\[4pt] 0,85^{12} &= 0,16734324368961426\cdot0,85 = 0,14224175713617212. \end{aligned}]

Passo 5

Interpretação e conclusão final:
  • A probabilidade exata (em forma fechada) de nenhuma leitura defeituosa é \,0,85^{12}\,.
  • Aproximação numérica: \,0,85^{12}\approx0,1422417571\,, ou seja aproximadamente 14{,}22\%.
  • Em palavras amigáveis: com 12 leituras e taxa de defeito 15\%, a chance de todas as leituras saírem boas é perto de 14\%. Dá para entender intuitivamente: como cada leitura tem 85\% de chance de ser boa, multiplicamos 0,85 doze vezes.

Resposta

0,85^{12}\approx0,1422417571

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