Um sensor industrial registra leituras defeituosas com probabilidade de 0,15 . Suponha que 12 leituras foram registradas.
Qual é a probabilidade de que nenhuma leitura seja defeituosa?
Qual é a probabilidade de que nenhuma leitura seja defeituosa?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A probabilidade de uma leitura ser defeituosa é
. - O número de leituras registradas é
.
O que o problema pede: - Calcular a probabilidade de que nenhuma das
leituras seja defeituosa (ou seja, zero leituras defeituosas).
Passo 2
Modelo apropriado e porquê (explicação didática):
- Cada leitura pode ser vista como um ensaio com dois resultados possíveis: “defeituosa” (sucesso, com probabilidade
) ou “não defeituosa” (falha, com probabilidade ). - Se assumimos que as leituras são independentes e a probabilidade de defeito é constante em cada leitura (isso é padrão nesse tipo de problema), então o número de leituras defeituosas entre
leituras segue uma distribuição binomial. - Definimos a variável aleatória
como o número de leituras defeituosas em ensaios. Para uma distribuição binomial com parâmetros e , a fórmula da função de massa de probabilidade é:
onde:
-
é o número de formas de escolher leituras defeituosas entre , -
é a probabilidade de exatamente leituras serem defeituosas, -
é a probabilidade das restantes serem não defeituosas.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso pedido:
- Queremos a probabilidade de nenhuma leitura defeituosa, ou seja
. - Substituindo
, e na fórmula:
- Observações úteis:
-
. -
. -
.
-
- Portanto a expressão simplifica para:
Passo 4
Cálculo numérico de
passo a passo (multiplicando por
a cada potência):
Passo 5
Interpretação e conclusão final:
- A probabilidade exata (em forma fechada) de nenhuma leitura defeituosa é
. - Aproximação numérica:
, ou seja aproximadamente . - Em palavras amigáveis: com
leituras e taxa de defeito , a chance de todas as leituras saírem boas é perto de . Dá para entender intuitivamente: como cada leitura tem de chance de ser boa, multiplicamos doze vezes.