Em uma linha de produção, 20% dos produtos são defeituosos. Se 15 produtos são escolhidos aleatoriamente:
(a) Qual é a probabilidade de que pelo menos 2 produtos sejam defeituosos?
(b) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de produtos defeituosos. Interprete os resultados no contexto.
(a) Qual é a probabilidade de que pelo menos 2 produtos sejam defeituosos?
(b) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de produtos defeituosos. Interprete os resultados no contexto.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Informação: a probabilidade de um produto ser defeituoso é
(ou seja, ). - Informação: o número de produtos escolhidos é
. - Pergunta (a): Qual é a probabilidade de que pelo menos 2 produtos sejam defeituosos?
- Pergunta (b): Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de produtos defeituosos e interprete no contexto.
Passo 2
Vamos modelar o problema com uma distribuição binomial. Antes de calcular, preciso explicar o que é isso, passo a passo, de forma bem didática.
- Experimento básico (Bernoulli): cada produto inspecionado tem apenas dois resultados possíveis: defeituoso (sucesso, com probabilidade
) ou não defeituoso (falha, com probabilidade ). Cada inspeção é uma “tentativa de Bernoulli”. - Soma de
tentativas independentes idênticas: o número de produtos defeituosos segue uma distribuição binomial com parâmetros e . Escrevemos . - Fórmula da probabilidade pontual: para
,
onde
conta o número de modos de escolher quais
dentre os
inspeções deram defeito.
- Fórmulas de média e variância (resultados padrão para binomial):
e o desvio padrão é
.
Vou usar essas fórmulas com e
.
Vou usar essas fórmulas com
Passo 3
Resolver a parte (a). Pedimos
. É mais simples usar o complementar:
Agora calculo
e
usando a fórmula da binomial.
- Calcular
:
Como
, temos
Vou calcular
passo a passo por multiplicações para ficar sem depender de truques. Primeiro algumas potências:
Agora
. Multiplicando em sequência:
Portanto
Passo 4
Continuo (parte a) com
:
Note que
. Já calculei
, então
Agora
Como
, isso simplifica para
Passo 5
Agora calculo
pelo complementar:
Substituindo os valores numéricos encontrados:
Arredondando de forma razoável:
Interpretação rápida (contexto): a probabilidade de, ao escolher 15 produtos aleatoriamente, surgir pelo menos 2 defeituosos é alta — cerca de
. Isso faz sentido porque a média esperada de defeituosos é alguns produtos (vamos calcular exatamente na parte (b)).
Passo 6
Resolver a parte (b): valor esperado e desvio padrão.
- Valor esperado:
Interpretação: em média, ao inspecionar
produtos, espera-se encontrar
defeituosos. “Em média” significa que se repetíssemos esse experimento muitas vezes, a média dos números de defeituosos tenderia para
.
- Variância e desvio padrão:
Calcule:
logo
.
O desvio padrão é
Interpretação: o desvio padrão mede a variabilidade típica em torno da média. Aqui isso significa que o número de defeituosos costuma variar cerca de
produtos em torno de
. Por exemplo, obter entre
e
defeituosos é algo frequente (interpretando grosso modo como “entre 1 e 5”). Isso mostra que embora a média seja
, é comum ter 1, 2, 3, 4 ou 5 defeituosos — a variabilidade não é pequena, mas também não é enorme.
Resposta
(a)
\n
(b) ,
(b)