Em uma linha de produção, 20% dos produtos são defeituosos. Se 15 produtos são escolhidos aleatoriamente:
(a) Qual é a probabilidade de que pelo menos 2 produtos sejam defeituosos?
(b) Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de produtos defeituosos. Interprete os resultados no contexto.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informação: a probabilidade de um produto ser defeituoso é p=0,2 (ou seja, 20\%).
  • Informação: o número de produtos escolhidos é n=15.
  • Pergunta (a): Qual é a probabilidade de que pelo menos 2 produtos sejam defeituosos?
  • Pergunta (b): Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de produtos defeituosos e interprete no contexto.

Passo 2

Vamos modelar o problema com uma distribuição binomial. Antes de calcular, preciso explicar o que é isso, passo a passo, de forma bem didática.
  • Experimento básico (Bernoulli): cada produto inspecionado tem apenas dois resultados possíveis: defeituoso (sucesso, com probabilidade p) ou não defeituoso (falha, com probabilidade 1-p). Cada inspeção é uma “tentativa de Bernoulli”.
  • Soma de n tentativas independentes idênticas: o número X de produtos defeituosos segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p. Escrevemos X\sim\mathrm{Bin}(n,p).
  • Fórmula da probabilidade pontual: para k=0,1,\dots,n,
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} conta o número de modos de escolher quais k dentre os n inspeções deram defeito.
  • Fórmulas de média e variância (resultados padrão para binomial):
\mathbb{E}(X)=n p, \qquad \mathrm{Var}(X)=n p(1-p),
e o desvio padrão é \sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}.
Vou usar essas fórmulas com n=15 e p=0,2.

Passo 3

Resolver a parte (a). Pedimos P(X\ge 2). É mais simples usar o complementar:
P(X\ge 2)=1-P(X\le 1)=1-\bigl[P(X=0)+P(X=1)\bigr].
Agora calculo P(X=0) e P(X=1) usando a fórmula da binomial.
  • Calcular P(X=0):
P(X=0)=\binom{15}{0}\,p^{0}\,(1-p)^{15}=1\cdot 1\cdot(1-p)^{15}=(1-p)^{15}.
Como 1-p=0,8, temos
P(X=0)=0,8^{15}.
Vou calcular 0,8^{15} passo a passo por multiplicações para ficar sem depender de truques. Primeiro algumas potências:
0,8^{2}=0,64, \qquad 0,8^{4}=(0,8^{2})^{2}=0,64^{2}=0,4096,
0,8^{8}=(0,8^{4})^{2}=0,4096^{2}=0,16777216.
Agora 0,8^{15}=0,8^{8}\cdot 0,8^{4}\cdot 0,8^{2}\cdot 0,8. Multiplicando em sequência:
0,16777216\times 0,4096=0,068719476736,
0,068719476736\times 0,64=0,04398046407104,
0,04398046407104\times 0,8=0,035184371256832.
Portanto
P(X=0)=0,035184371256832\approx0,035184.

Passo 4

Continuo (parte a) com P(X=1):
P(X=1)=\binom{15}{1}\,p^{1}\,(1-p)^{14}=15\cdot p\cdot(1-p)^{14}.
Note que (1-p)^{14}=\dfrac{(1-p)^{15}}{1-p}=\dfrac{0,8^{15}}{0,8}. Já calculei 0,8^{15}=0,035184371256832, então
0,8^{14}=\frac{0,035184371256832}{0,8}=0,04398046407104.
Agora
P(X=1)=15\cdot 0,2\cdot 0,04398046407104.
Como 15\cdot 0,2=3, isso simplifica para
P(X=1)=3\cdot 0,04398046407104=0,13194139221312\approx0,131941.

Passo 5

Agora calculo P(X\ge 2) pelo complementar:
P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1).
Substituindo os valores numéricos encontrados:
P(X\ge 2)=1-0,035184371256832-0,13194139221312=0,832874236530048.
Arredondando de forma razoável:
P(X\ge 2)\approx 0,8329.
Interpretação rápida (contexto): a probabilidade de, ao escolher 15 produtos aleatoriamente, surgir pelo menos 2 defeituosos é alta — cerca de 83{,}3\%. Isso faz sentido porque a média esperada de defeituosos é alguns produtos (vamos calcular exatamente na parte (b)).

Passo 6

Resolver a parte (b): valor esperado e desvio padrão.
  • Valor esperado:
\mathbb{E}(X)=n p=15\cdot 0,2=3.
Interpretação: em média, ao inspecionar 15 produtos, espera-se encontrar 3 defeituosos. “Em média” significa que se repetíssemos esse experimento muitas vezes, a média dos números de defeituosos tenderia para 3.
  • Variância e desvio padrão:
\mathrm{Var}(X)=n p(1-p)=15\cdot 0,2\cdot 0,8.
Calcule:
15\cdot 0,2=3,\qquad 3\cdot 0,8=2,4,
logo \mathrm{Var}(X)=2,4.
O desvio padrão é
\sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=\sqrt{2,4}\approx 1,549193338\approx 1,549.
Interpretação: o desvio padrão mede a variabilidade típica em torno da média. Aqui isso significa que o número de defeituosos costuma variar cerca de 1,55 produtos em torno de 3. Por exemplo, obter entre 3-1{,}55\approx1{,}45 e 3+1{,}55\approx4{,}55 defeituosos é algo frequente (interpretando grosso modo como “entre 1 e 5”). Isso mostra que embora a média seja 3, é comum ter 1, 2, 3, 4 ou 5 defeituosos — a variabilidade não é pequena, mas também não é enorme.

Resposta

(a) P(X\ge 2)\approx 0,8328742365\\ (\approx0,8329)\n
(b) \mathbb{E}(X)=3, \sigma_X=\sqrt{2,4}\approx 1,549

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