Um sensor industrial registra leituras defeituosas com probabilidade de 0,15 . Suponha que 12 leituras foram registradas.
Qual é a probabilidade de que entre 2 e 5 leituras (inclusive) sejam defeituosas?

Passo 1

O enunciado dá:
  • Probabilidade de uma leitura ser defeituosa: p = 0,15.
  • Número de leituras registradas: n = 12.
    Pede-se: qual é a probabilidade de que entre 2 e 5 leituras (inclusive) sejam defeituosas, ou seja, calcular
\Pr(2 \le X \le 5),
onde X é o número de leituras defeituosas entre as 12.

Passo 2

Escolha do método e explicação do conceito:
  • Aqui usamos a distribuição binomial, apropriada quando temos n ensaios independentes, cada um com probabilidade p de “sucesso” (aqui “sucesso” = leitura defeituosa).
  • A fórmula da probabilidade de exatamente k defeituosas é
\Pr(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k},
onde:
  • n é o número total de ensaios ( n=12),
  • k é o número de sucessos que queremos,
  • p é a probabilidade de sucesso ( p=0,15),
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras escolher k itens entre n e vale
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
  • O que pedem é a soma das probabilidades de k=2,3,4,5:
\Pr(2\le X\le5)=\sum_{k=2}^{5}\binom{12}{k} p^{k}(1-p)^{12-k}.

Passo 3

Preparar parâmetros e valores auxiliares:
  • Definir q=1-p. Assim
q=1-p=1-0,15=0,85.
  • Vou calcular os coeficientes binomiais necessários:
\binom{12}{2}=66,\qquad \binom{12}{3}=220,\qquad \binom{12}{4}=495,\qquad \binom{12}{5}=792.
(esses valores vêm de \frac{12!}{k!(12-k)!} ou de tabela conhecida de binomiais.)

Passo 4

Calcular cada termo da soma separadamente, mostrando as contas:
  • Para k=2:
\Pr(X=2)=\binom{12}{2} p^{2} q^{10}=66\cdot(0,15)^{2}\cdot(0,85)^{10}.
Calcule passo a passo:
(0,15)^{2}=0,0225,\qquad (0,85)^{10}\approx 0,19687440434072266,
66\cdot0,0225=1,485,
\Pr(X=2)\approx 1,485\cdot0,19687440434072266\approx 0,2923584904459731.
  • Para k=3:
\Pr(X=3)=220\cdot(0,15)^{3}\cdot(0,85)^{9}.
(0,15)^{3}=0,003375,\qquad (0,85)^{9}\approx 0,23161694628320312,
220\cdot0,003375=0,7425,
\Pr(X=3)\approx 0,7425\cdot0,23161694628320312\approx 0,1719755826152783.
  • Para k=4:
\Pr(X=4)=495\cdot(0,15)^{4}\cdot(0,85)^{8}.
(0,15)^{4}=0,00050625,\qquad (0,85)^{8}\approx 0,2724905250390625,
495\cdot0,00050625=0,25059375,
\Pr(X=4)\approx 0,25059375\cdot0,2724905250390625\approx 0,06828442313400819.
  • Para k=5:
\Pr(X=5)=792\cdot(0,15)^{5}\cdot(0,85)^{7}.
(0,15)^{5}=0,0000759375,\qquad (0,85)^{7}\approx 0,32057708828125,
792\cdot0,0000759375=0,0601425,
\Pr(X=5)\approx 0,0601425\cdot0,32057708828125\approx 0,019280307531954.

Passo 5

Somar os termos para obter a probabilidade desejada:
\Pr(2\le X\le5)=\Pr(X=2)+\Pr(X=3)+\Pr(X=4)+\Pr(X=5).
Substituindo os valores aproximados:
\Pr(2\le X\le5)\approx 0,2923584904459731+0,1719755826152783+0,06828442313400819+0,019280307531954.
Somando:
\Pr(2\le X\le5)\approx 0,5518988037272136.
Arredondando para quatro casas decimais (suficiente para provas): 0,5519.

Resposta

0,5519

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