Um engenheiro encarregado do controle de qualidade deseja estimar a fração de artigos defeituosos de um grande lote de lâmpadas. Com base em sua experiência, ele sabe que a fração efetiva de lâmpadas defeituosas deve estar próxima de 0,2 . Que tamanho deve ter uma amostra, se ele desejar estimar a verdadeira fração de lâmpadas defeituosas com tolerância de 0,01 , usando um nível de confiança de
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa:
- Fração estimada de defeituosos:
. - Tolerância desejada (erro máximo absoluto):
. - Nível de confiança:
. - População muito grande (logo podemos ignorar correção para população finita).
O que se pede: determinar o tamanho da amostranecessário para estimar a verdadeira fração de lâmpadas defeituosas com a tolerância e o nível de confiança dados.
Passo 2
Entendendo o que usamos para calcular
. Quando amostramos uma proporção, a estatística natural é a proporção amostral
. Para amostras suficientemente grandes,
é aproximadamente normal com média
(a verdadeira proporção) e desvio padrão igual à raiz da variância amostral:
Aqui:
-
é a proporção observada na amostra (estatística). -
é a proporção verdadeira (o que queremos estimar). -
é o tamanho da amostra (o que precisamos achar).
A margem de erropara um nível de confiança de é dada por
onde
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é
. Intuitivamente,
é o número de desvios-padrão que garante a probabilidade desejada de cobertura.
Passo 3
Isolando
na expressão da margem de erro. Partimos de
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Agora isolamos
:
Essa é a fórmula que usamos para calcular o tamanho da amostra quando temos uma estimativa preliminar de
.
Passo 4
Aplicando os números do enunciado. Temos:
-
(estimativa do engenheiro). -
. - Nível de confiança
implica e . O quantil correspondente da normal padrão é
Agora calculamos passo a passo:
- Calcule
:
- Calcule
:
- Multiplique
por :
- Divida por
(note que ):
Como o tamanho de amostra deve ser um inteiro e precisamos garantir que a margem de erro não exceda
, devemos arredondar para cima:
Passo 5
Observações finais e intuição prática:
- Arredondamos para cima porque, se usássemos
, a margem de erro seria ligeiramente maior que ; com estamos seguros de respeitar a tolerância. - O enunciado diz que o lote é grande, por isso não aplicamos a correção para população finita. Se a população fosse pequena e conhecida (digamos
não muito maior que ), usaríamos a correção de finite population para reduzir . - Alternativa conservadora: se quiséssemos não depender da estimativa preliminar de
, poderíamos usar (que maximiza ) e obter um maior. Mas como o engenheiro já sabe que está perto de , usar reduz o número de lâmpadas a inspecionar.