Um engenheiro encarregado do controle de qualidade deseja estimar a fração de artigos defeituosos de um grande lote de lâmpadas. Com base em sua experiência, ele sabe que a fração efetiva de lâmpadas defeituosas deve estar próxima de 0,2 . Que tamanho deve ter uma amostra, se ele desejar estimar a verdadeira fração de lâmpadas defeituosas com tolerância de 0,01 , usando um nível de confiança de 98 \%

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Fração estimada de defeituosos: \,0,2.
  • Tolerância desejada (erro máximo absoluto): \,0,01.
  • Nível de confiança: \,98\%.
  • População muito grande (logo podemos ignorar correção para população finita).
    O que se pede: determinar o tamanho da amostra n necessário para estimar a verdadeira fração de lâmpadas defeituosas com a tolerância e o nível de confiança dados.

Passo 2

Entendendo o que usamos para calcular n. Quando amostramos uma proporção, a estatística natural é a proporção amostral \hat{p}. Para amostras suficientemente grandes, \hat{p} é aproximadamente normal com média p (a verdadeira proporção) e desvio padrão igual à raiz da variância amostral:
\text{desvio padrão de }\hat{p}=\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}.ã
Aqui:
  • \hat{p} é a proporção observada na amostra (estatística).
  • p é a proporção verdadeira (o que queremos estimar).
  • n é o tamanho da amostra (o que precisamos achar).
    A margem de erro E para um nível de confiança de 1-\alpha é dada por
E = z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}},
onde z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2. Intuitivamente, z_{\alpha/2} é o número de desvios-padrão que garante a probabilidade desejada de cobertura.

Passo 3

Isolando n na expressão da margem de erro. Partimos de
E = z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}.
Elevando ao quadrado ambos os lados:
E^{2} = z_{\alpha/2}^{2}\cdot\dfrac{p(1-p)}{n}.
Agora isolamos n:
n = \dfrac{z_{\alpha/2}^{2}\,p(1-p)}{E^{2}}.
Essa é a fórmula que usamos para calcular o tamanho da amostra quando temos uma estimativa preliminar de p.

Passo 4

Aplicando os números do enunciado. Temos:
  • p=0,2 (estimativa do engenheiro).
  • E=0,01.
  • Nível de confiança 98\% implica \alpha=0,02 e \alpha/2=0,01. O quantil correspondente da normal padrão é
z_{0,01}\approx 2,3263.
Agora calculamos passo a passo:
  1. Calcule p(1-p):
p(1-p)=0,2\cdot(1-0,2)=0,2\cdot0,8=0,16.
  1. Calcule z_{0,01}^{2}:
z_{0,01}^{2}\approx(2,3263)^{2}\approx 5,4119.
  1. Multiplique z^{2} por p(1-p):
z_{0,01}^{2}\,p(1-p)\approx 5,4119\cdot0,16\approx 0,8659104.
  1. Divida por E^{2} (note que E^{2}=(0,01)^{2}=0,0001):
n \approx \dfrac{0,8659104}{0,0001}=8659,104.
Como o tamanho de amostra deve ser um inteiro e precisamos garantir que a margem de erro não exceda E, devemos arredondar para cima:
n=8660.

Passo 5

Observações finais e intuição prática:
  • Arredondamos para cima porque, se usássemos n=8659, a margem de erro seria ligeiramente maior que 0,01; com n=8660 estamos seguros de respeitar a tolerância.
  • O enunciado diz que o lote é grande, por isso não aplicamos a correção para população finita. Se a população fosse pequena e conhecida (digamos N não muito maior que n), usaríamos a correção de finite population para reduzir n.
  • Alternativa conservadora: se quiséssemos não depender da estimativa preliminar de p, poderíamos usar p=0,5 (que maximiza p(1-p)) e obter um n maior. Mas como o engenheiro já sabe que p está perto de 0,2, usar p=0,2 reduz o número de lâmpadas a inspecionar.

Resposta

n=8660

Exercícios relacionados